廣東省屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-06 07:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，故 ? ?hm單調(diào)遞增，有 ? ? ? ?00h m h??． 因此，對于任意的 0m? ， ? ? ? ?11g m g m? ? ?． 由 ? ? ? ?12g x g x? 可知 1x 、 2x 不可能在 ??gx的同一個單調(diào)區(qū)間上， 不妨設(shè) 12xx? ，則必有121xx?? 令 110mx? ? ? ，則有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 21 1 1 1 2g x g x g x g x g x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 而 121x??， 2 1x? ， ??gx在 ? ?1,?? 上單調(diào)遞增，因此： ? ? ? ?1 2 1 222g x g x x x? ? ? ? ? 整理得： 122xx??． 【答案】 （Ⅰ） 34a? ；（Ⅱ） 當(dāng) 34a?? 或 54a?? 時 ， ()hx 由一個零點(diǎn)；當(dāng) 34a?? 或 54a??時 ， ()hx 有兩個零 點(diǎn)；當(dāng) 5344a? ? ?? 時 ， ()hx 有三個零點(diǎn) . 解析： （Ⅰ）設(shè)曲線 ()y f x? 與 x 軸相切于點(diǎn) 0( ,0)x ， 則 0( ) 0fx? ， 0( ) 0fx? ? ，即300201 0430x axxa? ? ? ???? ???， 解得0 13,24xa??. 因此，當(dāng) 34a? 時 ， x 軸是曲線 ()y f x? 的切線 . ?? 5分 （Ⅱ）當(dāng) (1, )x? ?? 時 ， ( ) ln 0g x x? ? ?， 從而 ( ) m i n{ ( ) , ( ) } ( ) 0h x f x g x g x? ? ?， ∴ ()hx 在 （ 1， +∞）無零點(diǎn) . 當(dāng) x =1時，若 54a?? ， 則 5(1) 04fa? ? ? ， (1 ) m i n{ (1 ) , (1 ) } (1 ) 0h f g g? ? ?,故 x =1 是 ()hx的零點(diǎn) ； 若 54a?? ， 則 5(1) 04fa? ? ? ， (1 ) m i n{ (1 ) , (1 ) } (1 ) 0h f g f? ? ?,故 x =1不是 ()hx 的零點(diǎn) . 當(dāng) (0,1)x? 時 ， ( ) ln 0g x x? ? ?， 所以只需考慮 ()fx在 （ 0,1）的零點(diǎn)個數(shù) . (ⅰ )若 3a?? 或 0a? ， 則 2( ) 3f x x a? ??在 （ 0,1）無零點(diǎn)，故 ()fx在 （ 0,1）單調(diào)，而 1(0) 4f ? ，5(1) 4fa?? ， 所以當(dāng) 3a?? 時 ， ()fx在（ 0， 1）有一個零點(diǎn)；當(dāng) a? 0時， ()fx在（ 0， 1）無零點(diǎn) . (ⅱ )若 30a? ? ? ，則 ()fx在（ 0，3a?） 單調(diào)遞減，在（3a?， 1）單調(diào)遞增，故當(dāng) x =3a?時， ()fx取的最小值，最小值為 ()3af ?= 213 3 4aa??. ① 若 ()3af ?＞ 0，即 34? ＜ a ＜ 0， ()fx在（ 0,1）無零點(diǎn) . ② 若 ()3af ?=0，即 34a?? ， 則 ()fx在（ 0,1）有唯一零點(diǎn)； ③ 若 ()3af ?＜ 0，即 33 4a? ? ?? ， 由于 1(0) 4f ? ， 5(1) 4fa?? ， 所以當(dāng) 5344a? ? ?? 時 ，()fx在（ 0,1） 有兩個零點(diǎn)；當(dāng) 53 4a? ? ?? 時 ， ()fx在（ 0,1）有一個零點(diǎn) .? 10分 綜上，當(dāng) 34a?? 或 54a?? 時 ， ()hx 由一個零點(diǎn)；當(dāng) 34a?? 或 54a?? 時 ， ()hx 有兩個零點(diǎn)；當(dāng)5344a? ? ?? 時 ， ()hx 有三個零點(diǎn) . ?? 12分 【解析】 ⑴ 證明：? ? 2 e2 xxfx x?? ? ? ? ? ? ? ?2222 4 ee 2 22 xx xxx xx???? ??? ? ?? ???? ∵ 當(dāng) x?? ? ? ?2 2 ,?? ? ? ? ?，時，? ? 0fx? ? ∴??fx在? ? ?2 ,? ? ?， 和上單調(diào)遞增 ∴ 0x?時，? ?2 e 0 = 12 xx fx ? ??? ∴? ?e 2 0xxx? ? ? ? ⑵ ? ? ? ? ? ?2 4e 2 exxa x x ax agx x? ? ? ?? ? ? ?4e 2e 2xxx x ax ax? ? ?? ? ?322e2 xxxaxx???? ? ?????? ? ?01a? ， 由 (1)知，當(dāng) 0x?時，? ? 2 e2 xxfx x ????的值域?yàn)? ?1? ??，只有一解． 使得2 e2 tt at ? ? ???，? ?02t? ， 當(dāng)(0, )xt?時) 0gx? ?，()單調(diào)減；當(dāng)( , )xt? ??時( ) 0gx? ?，()單調(diào)增 ? ? ? ? ? ?22 2e 1 ee1 e2 2ttt tttat tha t t t?? ? ??? ?? ? ? ? 記? ? e 2tkt t? ?，在? ?0, 2t?時，? ? ? ?? ?2e1 02t tkt t ?? ???， ∴??kt單調(diào)遞增 ∴? ? ? ? 21e24h a k t ????? ???，． (Ⅰ )解 :當(dāng) 1a?? 時， ? ?fx? e x x?? ,則 ? ? 1 1xfx e? ?? ?. ??????? 1 分 令 ? ? 0fx? ? ，得 0x? . 當(dāng) 0x? 時 , ? ? 0fx? ? 。 當(dāng) 0x? 時 , ? ? 0fx? ? . ?????????? 2 分 ∴ 函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,0?? 上單調(diào)遞減 ,在區(qū)間 ? ?0,?? 上單調(diào)遞增 . ∴ 當(dāng) 0x? 時 ,函數(shù) ??fx取得最小值 ,其值為 ? ?01f ? . ???????? 3 分 (Ⅱ )解 :若 0x? 時 , ? ? ? ?ln 1 1f x x? ? ? ?,即 ? ?ln 1 1 0xe ax x? ? ? ? ?.(*) 令 ? ?gx? ? ?ln 1 1xe ax x? ? ? ?, 則 ? ? 1 1xg x e ax? ? ? ??. ① 若 2a?? ,由 (Ⅰ )知 1xex? ?? ,即 1xex? ?? ,故 1xex?? . ∴ ? ? ? ? ? ?1 1 11 2 1 2 01 1 1xg x e a x a x a ax x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?. ???????????????? 4 分 ∴ 函數(shù) ??gx在區(qū)間 ? ?0,?? 上單調(diào)遞增 . ∴ ? ? ? ?00g x g??. ∴ (*)式成立 . ???????????????? 5 分 ②若 2a?? ,令 ? ? 1 1xx e ax? ? ? ??, 則 ? ?? ? ? ?? ?222111 011xx xexexx???? ? ? ? ???. ∴ 函數(shù) ??x? 在區(qū)間 ? ?0,?? 上單調(diào)遞增 . 由于 ? ?0 2 0a? ? ? ?, ? ? 1 1 11 1 01 1 1aa e a a aa a a? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?. ???????????????? 6 分 故 ? ?0 0,xa? ? ? ,使得 ? ?0 0x? ? . ???????????????? 7 分 則當(dāng) 00 xx?? 時 , ? ? ? ?0 0xx????,即 ? ? 0gx? ? . ∴ 函數(shù) ??gx在區(qū)間 ? ?00,x 上單調(diào)遞減 . ∴ ? ? ? ?0 00g x g??,即 (*)式不恒成立 . ??????????????? 8 分 綜上所述 ,實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ? ?2,? ?? . ??????????????? 9 分 (Ⅲ )證明 :由 (Ⅱ )知 ,當(dāng) 2a?? 時 , ? ?gx? ? ?2 ln 1 1xe x x? ? ? ?在 ? ?0,?? 上單調(diào)遞增 . 則 ? ?1 02gg???????,即 12 11 ln 1 1 02e ??? ? ? ? ?????.????????????? 10 分 ∴ 3ln 22 e?? . ???????????????? 11 分 ∴ 232 ee?? ,即 2 32ee? ? . ???????????????? 12 分 解：（ 1）?????????????exxexexxxexf,ln0,ln)( ??????????????? 1分 ???????????????exxexexxxexf,10,1)(22? ????????????????? 2分 ?當(dāng) ex??0 時 0)( ?? xf , )(xf 單調(diào)遞減， 當(dāng) ex? 時 0)( ?? xf , )(xf 單調(diào)遞增 ????
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