【文章內容簡介】 鍵． 8．（ 2022?阜新）如圖， AB∥ CD， AD 與 BC 交于點 O，已知 AB=4， CD=3， OD=2，那么線段 OA 的長為 ． 【分析】 根據平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例得到 OA： OD=AB： CD，然后利用比例性質計算 OA 的長． 【解答】 解： ∵ AB∥ CD， ∴ OA： OD=AB： CD，即 OA： 2=4： 3， ∴ OA= ． 故答案為 ． 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例． 9．如圖，直線 AD∥ BE∥ CF， BC= AC， DE=4，那么 EF 的值是 2 ． 【分析】 根據 BC= AC 可得 = ，再根據條件 AD∥ BE∥ CF，可得 = ，再把 DE=4代入可得 EF 的值． 【解答】 解： ∵ BC= AC， ∴ = ， ∵ AD∥ BE∥ CF， ∴ = ， ∵ DE=4， ∴ =2， ∴ EF=2． 故答案為： 2． 【點評】 此題主要考查了平行線分線段成比例定理，關鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例． 10．如圖 △ ABC 中， BE 平分 ∠ ABC， DE∥ BC，若 DE=2AD， AE=2，那么 EC= 4 ． 【分析】 由 BE 平分 ∠ ABC， DE∥ BC，易得 △ BDE 是等腰三角形，即可得 BD=2AD，又由平行線分線段成比例定理，即可求得答案． 【解答】 解： ∵ DE∥ BC， ∴∠ DEB=∠ CBE， ∵ BE 平分 ∠ ABC， ∴∠ ABE=∠ CBE， ∴∠ ABE=∠ DEB， ∴ BD=DE， ∵ DE=2AD， ∴ BD=2AD， ∵ DE∥ BC， ∴ AD： DB=AE： EC， ∴ EC=2AE=2 2=4． 故答案為： 4． 【點評】 此題考查了平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質．注意掌握線段的對應關系是解此題的關鍵． 11．如圖，已知 AD、 BC 相交于點 O， AB∥ CD∥ EF，如果 CE=2， EB=4， FD=，那么AD= ． 【分析】 根據平行線分線段成比例、比例的基本性質求得 AF=3，則 AD=AF+FD= 即可． 【解 答】 解： ∵ AB∥ EF， ∴ ，則 ， 又 EF∥ CD， ∴ ，則 ， ∴ ， 即 ， 解得： AF=3， ∴ AD=AF+FD=3+=， 即 AD 的長是 ； 故答案為： ． 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例、比例的性質；由平行線分線段成比例定理得出比例式求出 AF 是解決問題的關鍵． 12．如圖， △ ABC 的兩條中線 AD 和 BE 相交于點 G，過點 E 作 EF∥ BC 交 AD 于點 F，那么 = ． 【分析】 由三角形的重心定理得出 = ， = ，由平行線分線段成比例定理得出= ，即可得出結果． 【解 答】 解： ∵ 線段 AD、 BE 是 △ ABC 的中線， ∴ = ， = ， ∵ EF∥ BC， = ， ∴ = ． 故答案為： ． 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形的重心定理；熟練掌握三角形的重心定理，由平行線分線段成比例定理得出 FG： DG=1： 2 是解決問題的關鍵 三．解答題（共 16 小題） 13．（ 2022?南通）如圖， △ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AC=5， BC=12， CO⊥ AB 于點 O， D是線段 OB 上一點， DE=2， ED∥ AC（ ∠ ADE＜ 90176。），連接 BE、 CD．設 BE、 CD 的中點分別為 P、 Q． （ 1）求 AO 的長； （ 2）求 PQ 的長； （ 3）設 PQ 與 AB 的交點為 M，請直接寫出 |PM﹣ MQ|的值． 【分析】 （ 1）由 △ ABC∽△ ACO，得 = ，由此即可求出 OA． （ 2）如圖 2 中，取 BD 中點 F， CD 中點 Q，連接 PF、 QF，在 Rt△ PFQ 中，求出 PF， QF即可解決問題． （ 3）如圖 3 中，取 AD 中點 G，連接 GQ，由 PF∥ GQ，推出 △ PMF∽△ QMG，推出 = = ，由 PM+QM= ，可以求出 PM， QM，即可解決問題． 【解答】 解：（ 1）如圖 1 中， ∵ CO⊥ AB， ∴∠ AOC=∠ ACB=90176。， ∵∠ A=∠ A， ∴△ ABC∽△ ACO， ∴ = ， ∵ AB= = =13， ∴ OA= = ． （ 2）如圖 2 中，取 BD 中點 F， CD 中點 Q，連接 PF、 QF， 則 PF∥ ED， FQ∥ BC， PF⊥ FQ，且 PF= ED=1， FQ= BC=6， 在 Rt△ PFQ 中， PQ= = = ． （ 3）如圖 3 中，取 AD 中點 G，連接 GQ， ∵ GQ∥ AC， ED∥ AC， PF∥ ED， ∴ PF∥ GQ， ∴△ PMF∽△ QMG， ∴ = = ， ∵ PM+QM= ， ∴ PM= ， MQ= ， ∴ |PM﹣ QM|= ． 【點評】 本題考查三角形相似綜合 題、平行線的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形以及相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題． 14．如圖，已知 △ ABC 中，點 D、 E 分別在邊 AB 和 AC 上， DE∥ BC，點 F 是 DE 延長線上的點， ，聯(lián)結 FC，若 ，求 的值． 【分析】 由平行線分線段成比例定理和已知條件得出 ，證出 AB∥ CF，再由平行線分線段成比例定理和比例的性質即可得出結果． 【解答】 解： ∵ DE∥ BC， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ AB∥ CF， ∴ = ， ∵ ， ∴ =2， ∴ =2． 【點 評】 本題考查了平行線分線段成比例定理以及逆定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，證明 AB∥ CF 是解決問題的關鍵． 15．如圖，已知 AD∥ BE∥ CF，它們依次交直線 l l2 于點 A、 B、 C 和點 D、 E、 F， ，AC=14； （ 1）求 AB、 BC 的長； （ 2）如果 AD=7， CF=14，求 BE 的長． 【分析】 （ 1）由平行線分線段成比例定理和比例的性質得出 ，即可求出 AB 的長，得出