【文章內容簡介】 )不是； (C)也許是； (D)也許不是 . 4．方程 y″ +xy′ + x2y＝ sinx 的所有解的最大存 在區(qū)間一定是 ( ). （ A） (∞ ,+∞ )。 （ B） (∞ ,0)。 （ C） (0,+∞ )。 （ D） ?????? ?? 2,2 ?? 參考答案 一 .填空題 1. 不能 2. 線性無關 3. 可以 4. n 5． 有 t0?I 使 w(t0)?0 二、單選題 1． B 2． B 3． B 4． A 一、（ 3）解答： 在方程 0)()( ?????? yxqyxpy 中，已知 )(xp ， )(xq 在 ),( ????上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在 xoy 平面上不能與 x 軸相切． 證明 :由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是),( ???? ． 顯然，該方程有零解 0)( ?xy ． 假設該方程的任一非零解 )(1 xy在 x軸上某點0x處與 x軸相切，即有 )()(0101 xyxy ??= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解 0)( ?xy 可知 ),(,0)(1 ?????? xxy，這是 因 為 零 解 也 滿 足 初 值 條 件 )()(0101 xyxy ??= 0 ， 于 是 由 解 的 惟 一 性 ， 有??? xxyxy ,0)()(1 ,(?? )?? ．這與 )(1 xy 是非零解矛盾． 習題選講 ),2,1)(( nitx i ?? 是 n 階齊線性微分方程 0)()(111 ???? ?? xtadt xdtadt xdnnnnn ?的任意 n個解 ,它們所構成的伏朗斯基行列式記為 )(tw .試證明 )(tw 滿足一階線性方程 0)(1 ??? wtaw ,因而有 ],[,)()( ,0)(0 0 1 battetwtw tt dssa ??? ? 證明 :因為)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxtwnnnnnn?????????????????? )()()()()()()()()()()()()()()(2)(1)2()2(2)2(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtwnnnnnnnnnn???????????????????? )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1(1)()1(21)(2)1(11)(1)2()2(2)2(12121)1()1(2)1(121211)()(2)(1)2()2(2)2(121211txtatxtxtatxtxtatxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtatxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtwtatwnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn???????????????????????????????????????????????????????????????? 將此行列式的第一行到第 n1 行分別乘以 )(,),( 2 tatan ? 加到第 n 行，并由 ),2,1)(( nitx i ?? 是 n 階齊線性微 分方程0)()( 111 ???? ?? xtadt xdtadt xd nnnnn ?的任意 n 個解 ,即有： 0)(1 ??? wtaw 。 解此方程有： ],[,)()( ,0)(0 0 1 battetwtw tt dssa ??? ? （過程略） 單項選擇題 1. 微分方程 ? ? 043 ??????? yyyxyxy 的階數(shù)是 ( ） A 3 B 4 C 5 D 2 2. xey ???? 的通解是 ( ) A xe?? B xe? C 21 CxCe x ??? D 21 CxCe x ??? ? 3. 方程 0??? yyx 的通解為 ( ) A y Cx? B y x C?? C Cy x? D 1yCx?? 4. 方程 xeyy 32 ???? 的通解是 ( ) A xx eCey 32 ?? B xx eCey 32 ?? ? C xx eCey 32 51?? ? D xx eCey 32 51?? 5. 用待定系數(shù)法求 xxeyy 2???? 的特解時， 應設特解具有形式 ( ) A xeCy 0? B xeCxCy )( 01 ?? C 10 CxeCy x ?? D xexCy 20? 〖答案〗 二、典型例題分析 例 1 填空題 （ 1） n 階線性齊次微分方程線性無關解的個數(shù)最多為 個． 答案： n （ 2）方程 0???? yy 的基本解組是 ． 答案： xcos ， xsin （ 3）方程 04 ???? yy 的基本解組是 ． 答案： xx 2cos,2sin （ 4）方程 044 ?????? yyy 的基本解組是 ． 答案： xx x 22 e,e ?? （ 5）若 )(),( 21 xyxy ?? ?? 是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們 共同零點． 答案：沒有 （ 6） n 階線性齊次微分方程的所有解構成一個 維線性空間． 答案： n （ 7）函數(shù)組 )(,),(),( 21 xxx n??? ? 在區(qū)間 I 上線性無關的 條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間 I 上不恒等于零． 答案：充分 （ 8）若函數(shù)組 )()( 21 xx ?? ， 在區(qū)間 ),( ba 上線性相關，則它們的朗斯基行列式 )(xW 在區(qū)間 ),( ba上 ． 答案：恒等于零 （ 9）函數(shù)組??? ?? xy xy cossin21的朗斯基行列式 )(xW 是 ． 答案：xx xxxW s inc os c oss in)( ?? （ 10）在方程 0)()( ?????? yxqyxpy 中，如果 )(xp ， )(xq 在 ),( ???? 上連續(xù)，那么它的任一非零解在 xoy 平面上 與 x 軸相切． 答案：不能 例 2 單項選擇題 （ 1）若 )(),( 21 xyxy 是二階線性齊次微分方程的兩個線性無關解，則在其定義的區(qū)間上，它們（ ）． （ A）可以有共同零點 （ B）可在 0?x 處有共同零點 （ C）沒有共同零點 （ D）可在 1?x 處有共同零點 正確答案： C （ 2）方程 0???? yy 的任一非零解在 xoy 平面上（ ）與 x 軸橫截相交． （ A）可以 （ B）不可以 （ C）只能在 0?x 處可以 （ D）只能在2??x處可以 正確答案： A （ 3） n 階線性齊次微分方程基本解組中解 的個數(shù)恰好是（ ）個． （ A） n 1 （ B） n （ C） n +1 （ D） n +2 正確答案： B （ 4） n 階線性齊次方程的所有解構成一個（ ）維線性空間． （ A） 2?n （ B） 1?n （ C） n （ D） 1?n 正確答案： C （ 5）若 )(1 xy ?? ， )(2 xy ?? 是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解可用這兩個解表示為（ ）． （ A） )()( 21 xx ?? ? （ B） )()( 21 xx ?? ? （ C） )()( 21 xxC ?? ? （ D） )())()(( 121 xxxC ??? ?? 正確答案： D （ 6）方程 03 ?? xx?? 的任一非零解在 ),( xxt ? 空間中（ ）． （ A）不能與 t 軸相交 （ B）可以與 t 軸相交 （ C）可以與 t 軸橫解相交 （ D）可以與 t 軸相切 正確答案： A 例 3 求下列方程的通解： （ 1）xyy cos1???? （ 2） xyy e21????