【文章內(nèi)容簡介】 ???????????.54c o s,53s i n, o s53c o sxxxxx ??或 故 .57cossin ??? xx （ 2） xx xxxx c o ttan 2c o s2c o s2s in2s in3 22 ? ?? xxxxxxsincoscossin1sin2sin2 2???? 125108)53542(54)53()s inc o s2(c o ss in??????????? xxxx 點評 ：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號等基本知識，以及推理和運算能力 . [例 8] (1)化簡： sin2αsec2α － 1＋ 1csccos2 2 ??? +cos2αcsc 2α (2)設(shè) sin(α+ π 2 )=－ 14,且 sin2α ＞ 0 求 sinα,t anα ①② 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 解 ： 原式 =sin2αtan2α ＋cos2αcot2α +cos2αcsc 2α =cos2α +sin2α +cos2α csc2α =1+cot2α =csc2α (2)解 ： 由 sin(α +π 2 )=14 ∴cos α = 14∵sin2 α ＞ 0∴2k π ＜ 2α ＜ 2kπ +π kπ ＜ α kπ+ π 2 (k∈z) ∴α 為第一象限或第二象限的角 ∵cosα= 14＜ 0 ∴α 為第三角限角 sinα= 1－ cos2α ＝ 154 tan α= sinαcosα = 15 點評 ：本題要求同學們熟練掌握同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，在求值過程中特別注意三角函數(shù)值的符號的探討 . [例 9] 求函數(shù) 的定義域 . 解： 由題意有 當 時， ； 當 時， ； 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 當 時， 函數(shù)的定義域是 點評： 有部分同學可能會認為不等式組（ *）兩者沒有公共部分，所以定義域為空集，原因是沒有 正確理解弧度與實數(shù)的關(guān)系，總認為二者格格不入，事實上弧度也是實數(shù) . [例 10] （ 05 年高考 天津卷） 已知 )3t a n(s i n,2572c os,10 27)4s i n( ?????????? 及求. 解法一 :由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得 )c os(s in22)4s in(10 27 ???????? 即 57cossin ???? ① 由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得 )s i n(c os57)s i n)(c oss i n(c oss i nc os2c os257 22 ?????????????????? 故 51sincos ????? ② 由 ①式和②式得 54cos,53sin ????? .因此， 43tan ??? ，由兩角和的正切公式 .11 32548334 3344331433tan313tan)4t a n (?????????? ?????? 解法二： 由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得 ????? 2sin212c os257 解得 53sin,259sin 2 ????? 即 由 57c oss in,10 27)4s in( ???????? 可得 由于 057s inc os,0c os57s in ?????????? 且， 故 ? 在第二象限，于是 53sin ?? . 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 從而 5457sinc os ?????? （以下同解法一） . 點評 ： ?? cossin ? ， ?? cossin ? ， ?? cossin ? 三個式子，據(jù)方程思想知一可求其二（因為其間隱含著平方關(guān)系式 1cossin 22 ?? ?? ），在求值過程中要注意符號的討論 . 四、典型習題導(dǎo)練 1． 當 0＜ x＜л時 ,則方程 cos (л cosx)=0 的解集為 ( ) A. ?????? 65,6 лл B.?????? 32,3 лл C.??????3л D.??????32л 2． （ 05 年高考全國卷Ⅰ） 在 ABC? 中，已知 CBA sin2tan ?? ，給出以下四個論斷： ① 1cottan ?? BA ② 2sinsin0 ??? BA ③ 1cossin 22 ?? BA ④ CBA 222 sinco sco s ?? 其中正確的是 A．①③ B.②④ C.①④ D.②③ 3． （ 05 年全國卷 Ⅲ ） 設(shè) 02x ??? ,且 1 sin 2 sin c osx x x? ? ?,則 A. 0 x ??? B. 744x???? C. 544x???? D. 322x???? 4．函數(shù) A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 偶函數(shù) D. 奇函數(shù) 5． 曲線 )4c os ()4sin(2 ?? ??? xxy 和直線 21?y 在 y 軸右側(cè)的交點按橫坐標從小到大依 次記為 P1， P2， P3，?，則 |P2P4|等于（ ） A． ? B． 2? C． 3? D． 4? 6． 7．已知函數(shù) f(x)＝ 2sinxcosx＋ cos2x． (1) 求 f(4? )的值； (2) 設(shè) ? ∈ (0， ? )， f(2? )＝ 22 ，求 sin? 的值． 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 8． （ 05 年高考湖南卷） 已 知在 △ ABC 中， sinA（ sinB＋ cosB）－ sinC＝ 0， sinB＋ cos2C＝ 0，求角 A、 B、 C 的大小 . 9． （ 06 年高考安徽卷） 已知 3 1 0, ta n c o t43? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 1）求 tan? 的值； （ 2）求225 sin 8 sin c o s 1 1 c o s 82 2 2 22 sin 2? ? ? ???? ? ????????的值。 一、知識導(dǎo)學 、差、倍、半公式 （ 1） 兩角和與差的三角函數(shù)公式 ?????? s i nc o ss i ns i n)s i n ( ???? ?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( ??? ?? ???? t a nt a n1 t a nt a n)t a n( ? ??? （ 2） 二倍角公式 ??? cossin22sin ? ????? 2222 s i n211c o s2s i nc o s2c o s ?????? ??? 2tan1 tan22tan ?? （ 3） 半角公式 2cos12sin 2 ?? ?? ， 2cos12cos2 ?? ?? ， ??? cos1 cos12tan 2 ??? ? ???? s inc os1c os1 s in2tan ???? ，常見于化簡求值和恒等式證明 .恒等式證明就是利用公式消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，使左右相等，常用方法為：（ 1）從一邊開始證得它等于另一邊，一般由繁到簡；（ 2）證明左右兩邊都等于同一個式子（或數(shù)值） . 二、疑難知識導(dǎo)析 1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的內(nèi)涵是揭示同名不同角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，常用于解決求值、化簡和證明題 . 2 ．倍角公式的內(nèi)涵是揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)的運算規(guī)律 .如??? cossin22sin ? 成立的條件是“ ? 是任意角， ??是2 的 2 倍角”，精髓體現(xiàn)在角的“倍數(shù)”關(guān)系上 . 3．公式使用過程中（ 1）要注意觀察差異，尋找聯(lián)系，實 現(xiàn)轉(zhuǎn)化，要熟悉公式的正用逆用高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 和變形使用，也要注意公式成立的條件 .例 )ta nta n1)(ta n (ta nta n ?????? ???? 、2 2cos1sin 2 ?? ?? 、 2 2cos1cos 2 ?? ?? 等 . 4． 三角公式由角的拆、湊很靈活 .如 )()(2 ????? ???? 、 ??? ??? )( 、 22 ????? ???? ， )2()2(2 ?????? ????? 等，注意到倍角的相對性 . 5．化為三角函數(shù)式，常見的思路為化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等 . 6. 三角恒等式的證明包括無條件恒等式和有條件恒等式 (1)無條件恒等式證明 ,要認真分析等式兩邊三角函數(shù)的特點 ,角度和函數(shù)關(guān)系 ,找出差異尋找突破口 . (2)有條件的等式證明 ,常常四尋找條件與需證式的區(qū)別與聯(lián)系 ,對條件或須證式進行變形 .采用消去法或基本量法等求證 . 三、典型例題導(dǎo)講 [例 1] 在 ?ABC中， 2sinA+cosB=2， sinB+2cosA= 3 ，則 ?C的大小應(yīng)為 ( ) A．6? B．3? C．6?或 ?65 D．3?或32? 錯解 ： C 錯因： 求角 C有兩解后未代入檢驗 . 正解 ： A [例 2] 已知 tan? tan?是方程 x2+3 3 x+4=0的兩根，若 ?， ??(2,2??)，則 ?+?=（ ） A．3? B．3?或 ?32 C． 3?或 ?32 D． ?32 錯解 ： B. 錯因 ： 未能準確限制角的范圍 . 正解 ： D. [例 3] 若 ，則對任 意實數(shù) 的取值為（ ） A. 1 B. 區(qū)間（ 0， 1） C. D. 不能確定 錯解 ： C 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 錯因 ：此題極易認為答案 A 最不可能，怎么能會與 無關(guān)呢？其實這是我們忽略了一個隱含條件 ，導(dǎo)致了錯選為 C 或 D. 正解 ：解法一 設(shè)點 ，則此點滿足 解得 或 即 選 A 解法二： 用賦值法， 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 令 同樣有 選 A [例 4] △ ABC 中，已知 cosA=135， sinB=53，則 cosC 的值為（ ） 或 6556 D. 6516? 錯解： C 錯因 ：是忽略對題中隱含條件的挖掘 . 正解 ： A [例 5] 已知 53sin ??? mm? ， 524cos ??? m m? （ ??? ??2 ），則 ??tan （ ） A、 324 ??m m B、 mm24 3??? C、 125? D、 12543 ?? 或 錯解 ： A 錯因 ：是忽略 1cossin 22 ?? ?? ，而解不出 m 正解 ： C [例 6]求值： =_______________ 解 ：答 32－ 解法一 原式 高中數(shù)學輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 解法二