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正文內(nèi)容

高一數(shù)學三角函數(shù)的圖像(編輯修改稿)

2024-12-17 06:01 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 y = f ( x ) 的圖象向左平移π2個單位,故選C. 已知函數(shù)圖象求解析式或參數(shù)值 【例 3 】 已知函數(shù) f ( x ) = A s i n ( ωx + φ ) , x ∈ R ( 其中 A 0 , ω 0 , 0 φ π2) 的圖象與 x 軸的交點中 , 相鄰兩個交點之間的距離為π2, 且圖象上一個最低點為 M (2π3,- 2 ) . ( 1 ) 求 f ( x ) 的解析式 ; ( 2 ) 當 x ∈ [π12,π2] 時 , 求 f ( x ) 的值域 . 思路點撥: 求解析式實質(zhì)就是求 A 、 ω 、 φ 的值, A 由最低點縱坐標可求, ω 由函數(shù)的周期確定, φ 的值可通過點 M 坐標求得 . 解: ( 1 ) 由最低點為 M (2π3,- 2 ) 得 A = 2. 由 x 軸上相鄰兩個交點之間的距離為π2得T2=π2, 即 T = π. ∴ ω =2πT=2ππ= 2. 由點 M (2 π3,- 2 ) 在圖象上得 2 s i n ( 2 2π3+ φ ) =- 2 , 即 s in (4π3+ φ ) =- 1 , 故4π3+ φ = 2 k π -π2( k ∈ Z ) , ∴ φ = 2 k π -1 1 π6( k ∈ Z ) . 又 φ ∈ ( 0 ,π2) , ∴ φ =π6, 故 f ( x ) = 2 s in ( 2 x +π6) . ( 2 ) ∵ x ∈ [π12,π2] , ∴ 2 x +π6∈ [π3,7π6] , 當 2 x +π6=π2, 即 x =π6時 , f ( x ) 取得最大值 2 ; 當 2 x +π6=7π6, 即 x =π2時 , f ( x ) 取得最小值- 1 , 故 f ( x ) 的值域為 [ - 1 , 2 ] . 根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是在圖象上找到幾個確定的點的坐標,由最高點或最低點確定出 A 的值,再由圖象確定出最小正周期,從而 求出 ω ,最后根據(jù)特殊點的坐標確定出 φ ,或根據(jù)圖象平移的規(guī)律,確定 φ 值 . 變式探究 31 : ( 2 0 0 9 年高考遼寧卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) = A c o s ( ωx + φ ) 的圖象如圖所示 , f (π2) =-23, 則 f ( 0 ) 等于 ( ) ( A ) -23 ( B ) -12 ( C )23 ( D )12 解析: 由題意可知, 此函數(shù)的周期 T = 2 (1112π -712π ) =2π3, 故2πω=2π3, ∴ ω = 3 , f ( x ) = A c o s ( 3 x + φ ) . f (π2) = A c o s (3π2+ φ ) = A s in φ =-23.又由題圖可知 f (7π12) = A c o s ( 3 7π12+ φ ) = 0 , ∴ f ( 0 ) = A c o s φ=23.故選 C. 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年合肥模擬 ) 將函數(shù) y = s in ( 2 x +π3) 的圖象上各點向右平移π6個單位長度 ,再把每一點的橫坐標縮短到原來的一半 , 縱坐標保持不變 , 所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是( ) ( A ) x =π8 ( B ) x =π6 ( C ) x =π3 ( D ) x =π2 解析: 依題意知變換圖象后所得圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為 y = s in 4 x ,令 4 x = k π +π2, k ∈Z ,則 x =k π4+π8, k ∈ Z .將各選項代入驗證可知只有 A 符合,故選 A. 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年高考山東卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) =12s in 2 x s i n φ + c o s2x c o s φ -12s in (π2+ φ )( 0 < φ< π ) , 其圖象過點 (π6,12) . ( 1 ) 求 φ 的值 ; ( 2 ) 將函數(shù) y = f ( x ) 的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12, 縱坐標不變 , 得到函數(shù) y = g ( x )的圖 象 , 求函數(shù) g ( x ) 在 [ 0 ,π4] 上的最大值和最小值 . 解: ( 1 ) 因為函數(shù) f ( x ) 的圖象過點 (π6,12) , 所以12=12s i nπ3s in φ + c o s2π6c o s φ -12s in (π2+ φ ) , 即32s in φ +12c o s φ = 1 , 即 s in ( φ +π6) = 1 , ∵ 0 < φ < π , ∴ φ +π6=π2, 解得 φ =π3. ( 2 ) φ =π3時 , f ( x ) =34s in 2 x +12c o s2 x -14 =34s in 2 x +14c o s 2 x =12(32s in 2 x +12c o s 2 x ) =12s in ( 2 x +π6) , ∴ g ( x ) =12s in ( 4 x +π6) . ∵ x ∈ [ 0
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