高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖像(編輯修改稿)
2024-12-17 06:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y ＝ f ( x ) 的圖象向左平移π2個(gè)單位，故選C. 已知函數(shù)圖象求解析式或參數(shù)值 【例 3 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ， x ∈ R ( 其中 A 0 ， ω 0 , 0 φ π2) 的圖象與 x 軸的交點(diǎn)中 ， 相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π2， 且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為 M (2π3，－ 2 ) ． ( 1 ) 求 f ( x ) 的解析式 ； ( 2 ) 當(dāng) x ∈ [π12，π2] 時(shí) ， 求 f ( x ) 的值域 ． 思路點(diǎn)撥： 求解析式實(shí)質(zhì)就是求 A 、 ω 、 φ 的值， A 由最低點(diǎn)縱坐標(biāo)可求， ω 由函數(shù)的周期確定， φ 的值可通過(guò)點(diǎn) M 坐標(biāo)求得 ． 解： ( 1 ) 由最低點(diǎn)為 M (2π3，－ 2 ) 得 A ＝ 2. 由 x 軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為π2得T2＝π2， 即 T ＝ π. ∴ ω ＝2πT＝2ππ＝ 2. 由點(diǎn) M (2 π3，－ 2 ) 在圖象上得 2 s i n ( 2 2π3＋ φ ) ＝－ 2 ， 即 s in (4π3＋ φ ) ＝－ 1 ， 故4π3＋ φ ＝ 2 k π －π2( k ∈ Z ) ， ∴ φ ＝ 2 k π －1 1 π6( k ∈ Z ) ． 又 φ ∈ ( 0 ，π2) ， ∴ φ ＝π6， 故 f ( x ) ＝ 2 s in ( 2 x ＋π6) ． ( 2 ) ∵ x ∈ [π12，π2] ， ∴ 2 x ＋π6∈ [π3，7π6] ， 當(dāng) 2 x ＋π6＝π2， 即 x ＝π6時(shí) ， f ( x ) 取得最大值 2 ； 當(dāng) 2 x ＋π6＝7π6， 即 x ＝π2時(shí) ， f ( x ) 取得最小值－ 1 ， 故 f ( x ) 的值域?yàn)?[ － 1 , 2 ] ． 根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是在圖象上找到幾個(gè)確定的點(diǎn)的坐標(biāo)，由最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定出 A 的值，再由圖象確定出最小正周期，從而 求出 ω ，最后根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定出 φ ，或根據(jù)圖象平移的規(guī)律，確定 φ 值 ． 變式探究 31 ： ( 2 0 0 9 年高考遼寧卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A c o s ( ωx ＋ φ ) 的圖象如圖所示 ， f (π2) ＝－23， 則 f ( 0 ) 等于 ( ) ( A ) －23 ( B ) －12 ( C )23 ( D )12 解析： 由題意可知， 此函數(shù)的周期 T ＝ 2 (1112π －712π ) ＝2π3， 故2πω＝2π3， ∴ ω ＝ 3 ， f ( x ) ＝ A c o s ( 3 x ＋ φ ) ． f (π2) ＝ A c o s (3π2＋ φ ) ＝ A s in φ ＝－23.又由題圖可知 f (7π12) ＝ A c o s ( 3 7π12＋ φ ) ＝ 0 ， ∴ f ( 0 ) ＝ A c o s φ＝23.故選 C. 【例 1 】 ( 2 0 1 0 年合肥模擬 ) 將函數(shù) y ＝ s in ( 2 x ＋π3) 的圖象上各點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度 ，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半 ， 縱坐標(biāo)保持不變 ， 所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是( ) ( A ) x ＝π8 ( B ) x ＝π6 ( C ) x ＝π3 ( D ) x ＝π2 解析： 依題意知變換圖象后所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為 y ＝ s in 4 x ，令 4 x ＝ k π ＋π2， k ∈Z ，則 x ＝k π4＋π8， k ∈ Z .將各選項(xiàng)代入驗(yàn)證可知只有 A 符合，故選 A. 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年高考山東卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝12s in 2 x s i n φ ＋ c o s2x c o s φ －12s in (π2＋ φ )( 0 ＜ φ＜ π ) ， 其圖象過(guò)點(diǎn) (π6，12) ． ( 1 ) 求 φ 的值 ； ( 2 ) 將函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12， 縱坐標(biāo)不變 ， 得到函數(shù) y ＝ g ( x )的圖 象 ， 求函數(shù) g ( x ) 在 [ 0 ，π4] 上的最大值和最小值 ． 解： ( 1 ) 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) 的圖象過(guò)點(diǎn) (π6，12) ， 所以12＝12s i nπ3s in φ ＋ c o s2π6c o s φ －12s in (π2＋ φ ) ， 即32s in φ ＋12c o s φ ＝ 1 ， 即 s in ( φ ＋π6) ＝ 1 ， ∵ 0 ＜ φ ＜ π ， ∴ φ ＋π6＝π2， 解得 φ ＝π3. ( 2 ) φ ＝π3時(shí) ， f ( x ) ＝34s in 2 x ＋12c o s2 x －14 ＝34s in 2 x ＋14c o s 2 x ＝12(32s in 2 x ＋12c o s 2 x ) ＝12s in ( 2 x ＋π6) ， ∴ g ( x ) ＝12s in ( 4 x ＋π6) ． ∵ x ∈ [ 0
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