【文章內(nèi)容簡介】 邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等．那么在什么情況下，它們會全等 ? (1)閱讀與證明： 對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋? 對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)?(證明略 )． 對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下： 已知：△ ABC、△ A1B1C1均為銳角三角形， AB＝ A1B1， BC＝ B1Cl， ∠ C＝ ∠ Cl． 求證：△ ABC≌△ A1B1C1． (請你將下列證明過程補充完整 ) 【證明】 分別過點 B， B1 作 BD⊥ CA于 D， B1 D1⊥ C1 A1于 D1． 則∠ BDC＝ ∠ B1D1C1＝ 90176。， ∵ BC＝ B1C1， ∠ C＝ ∠ C1， ∴ △ BCD≌△ B1C1D1， ∴ BD＝ B1D1． (2)歸納與敘述： 由 (1)可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論． 【分析】 本題第 (1)問是考查學生邊邊角證三角形全等，雖然學生都清楚邊邊角不能證明 2 個任意三角形全等，但通過分類后可以分別證明，這個并不困難 ． 關(guān)鍵是第(2)問結(jié)論的正確表述，雖然三種情況下都能證出全等，但不能概括成一種情況，還是要歸納為三種分別得出結(jié)論 ． 【解】 (1)分別過點 B， B1作 BD⊥ CA 于 D， B1 D1⊥ C1 A1于 D1． 則 ∠ BDC＝ ∠ B1D1C1＝ 90176。， ∵ BC＝ B1C1， ∠ C＝ ∠ C1， ∴ △ BCD≌△ B1C1D1， ∴ BD＝ B1D1． 又∵ AB＝ A1B1， ∠ ADB＝ ∠ A1D1B1＝ 90176。． ∴ △ ADB≌△ A1D1B1， ∴ ∠ A＝ ∠ A1， 又∵ ∠ C＝ ∠ C1， BC＝ B1C1， ∴ △ ABC≌△ A1B1C1． (2)若 △ ABC、 △ A1B1C1均為銳角三角形，且 AB＝ A1B1， BC＝ B1C1， ∠ C＝ ∠ C1，則 △ ABC≌△ A1B1C1． 若 △ ABC、 △ A1B1C1均為直角三角形，且 AB＝ A1B1， BC＝ B1C1， ∠ C＝ ∠ C1，則△ ABC≌△ A1B1C1． 若 △ ABC、 △ A1B1C1 均為鈍角三角形，且 AB＝ A1B1， BC＝ B1C1， ∠ C＝ ∠ C1，則△ ABC≌△ A1B1C1． 例 7 如圖 1421，四邊形 ABCD 中， AB＝ AD， CB＝ CD，但 AD≠ CD，我們稱這樣的四邊形為“半菱形”．小明說“‘半菱形’的面積等于兩條對角線乘積的一半”，他的說法正確嗎 ?請你判斷并證明你的結(jié)論． 圖 141 【分析】“ 半菱形”是一類“特殊”的四邊形，其面積計算無現(xiàn)成的公式可套用．但我們想到的是四邊形往往通過轉(zhuǎn)化成三角形來 研究，而三角形的面積計算是同學們相當熟悉的，這樣問題就歸結(jié)為證明兩對角線互相垂直，結(jié)合已知條件問題也就順利得到解決． 【解】 他的說法正確． 證明如下： 方法一：如圖 1422，設(shè) AC， BD 交于點 O， AB＝ AD， BC＝ DC， AC＝ AC， ∴ △ ABC≌ △ ADC， ∴ ∠ BAC＝ ∠ DAC， 而 AB＝ AD， ∴ AO⊥ BD． AOBDSA B D ??? 21， COBDSB C D ??? 21， ∴ACBDCOAOBDCOBDAOBDSSS B C DA B DA B C D ?????????? ?? 21)(212121四邊形方法二： AB＝ AD， ∴點 A 在線段 BD 的中垂線上． 又 CB＝ CD， ∴ 點 C 也在線段 BD 的中垂線上， ∴ AC 所在的直線是線段 BD 的中垂線，即 BD⊥ AC， 設(shè) AC， BD 交于點 O， AOBDS A B D ??? 21 ， COBDS B C D ??? 21 ， 故： ACBDCOAOBDCOBDAOBDSSS B C DA B DA B C D ?????????? ?? 21)(212121四邊形 【命題趨勢與方向預測】 綜觀實行課程標準來，我省 歷年 各地試卷普遍關(guān)注對數(shù)學核心內(nèi)容、基本能力和基本思想方法的考查，關(guān)注對學生數(shù)學活動過程的考查，試題背景注意貼近教材和學生的生活實際 ， 試題形式總體穩(wěn)定并有所創(chuàng)新．預測 明 年試卷將根據(jù)課程標準的理念，繼續(xù)注重基礎(chǔ)，突出能力，關(guān)注創(chuàng)新，力求發(fā)展．在試題的呈現(xiàn)形式上體現(xiàn) 為 ：緊扣教材，重視對數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的考查；突出數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科的整合；注重對 “實驗操作 ”能力的考查，注意考查圖 1421 圖 1421 閱讀理解、信息加工處理的 能力；增強試題的變化性和開放度，注重對探索能力的考查等． 【復習建議】 (1)第二輪復習不再以節(jié)、章、單元為單位，而是以專題為單位 ． 專題的劃分要合理 ． (2)專題的選擇要準 ， 時間安排要合理 ． 專題選的準不準，主要取決于對課程標準和中考題的研究 ． 專題要有代表性，切忌面面俱到；專題要 有 針對性，圍繞熱點、難點、重點 ， 特別是中考必考內(nèi)容選定專題；根據(jù)專題的特點安排時間，重要處要狠下功夫，不惜 “ 浪費 ” 時間，舍得投入精力 ． (3)注重解題后的反思 ． (4)以題代知識，由于第二輪復習的特殊性，學生在某種程度上遠離了基礎(chǔ)知識 ，會造成程度不同的知識遺忘現(xiàn)象，解決這個問題的最好辦法就是以題代知識 ． (5)專題復習 應 適當拔高 ． 專題復習要有一定的難度，沒有一定的難度，學生的能力是很難提高的， 而 提高學生的能力，這是第二輪復習的 主要 任務 ． 但 也 要兼顧各種因素 ， 把握 好 一個度 ，講解過程中要兼顧能力的發(fā)展和基礎(chǔ)的積累．要使每個專題使學生都有收獲，不同的學生都有感悟． (6)專題復習的重點是揭示思維過 程 ． 學生應做一定量的數(shù)學題，積累解決綜合問題的經(jīng)驗，增強自信心． 但 切忌搞題海戰(zhàn)術(shù)．不能加大學生的練習量，把學生推進題海 ． (7)專題模擬訓練應及時到位 ，一般 2～ 3 個專題結(jié)束 可 進行一次模擬訓練，目的是考查學生運用數(shù)學知識解決新問題的能力，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，發(fā)展學 生 的數(shù)學思維． 本文僅以 “ 閱讀理解型 問題 ” 為專題談了本人復習的一點做法和體會，還有其他專題，譬如 “ 信息、圖表類問題 ” 、 “ 實驗操作 型問題 “ 、 “ 代數(shù)、幾何綜合型問題 ”等也可參照復習．總體上要求選好例題，通過解剖典型例題，引導學生經(jīng)歷解題思路的探索，解題方法和規(guī)律的歸納過程、學會分析問題、解決問題的方法． 【 返回目錄 】 專題一 運動型 問題 丁海燕 張家港市崇實初級中學 【 試題特點 】 聚焦近幾年中考的運動型問題，運動型問題主要包含質(zhì)點運動型問題與圖形變換型問題兩類 ． 是以各種幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題，探求圖形中的某一元素的運動變化中，其結(jié)論的不變或變化規(guī)律．它集代數(shù)、幾何知識于一體，題目靈活、多變，動靜結(jié)合，較好地滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等重要數(shù)學思想，綜合性較強，已成為中考熱點試題． 【試題分類賞析】 (一 )質(zhì)點運動型問題 1．在選擇題中探究兩變量的 函數(shù)大致圖象 ． 例 1 如圖 151， AB 是半圓 O 的直徑，點 P從點 O 出發(fā)沿 OAABBO 的路徑運動一周 ． 設(shè)OP 為 s，運動時間為 t，則下列圖形能大致地刻畫s 與 t 之間關(guān)系的是 ( ) 【 分析 】 P 點 在線段 OA 上時， s 隨著 t 的增大而增大， P 點 在半圓 AB 點 上時，在PO 的長始終等于半徑， P 點 在線段 OB 上時， s 隨著 t 的增大而減小 ． 【解】 選 C． 【 說明 】 此類選擇題主要借函數(shù)圖象反映兩變量的變化趨勢，可 通過 抓住一些特殊點 和一般點進行比較，揭示了運動與靜 止，一般與特殊的內(nèi)在的聯(lián)系． 2．填空題探究點在運動過程中的最值問題． 例 2 如圖 152，在銳角三角形 ABC 中， AB＝42， ∠ BAC＝ 45 ， ∠ BAC 的平分線交 BC 于 點D， M， N 分別是 AD 和 AB 上的動點 ，則 BM＋ MN的最小值是 _______． 【 分析 】 AD 是 ∠ BAC 的平分線， AD 所在直線是 ∠O s t s t O s O t O s t A． B． C． D． 圖 151 P A O B NM DCBA圖 152 BAC 的對稱軸，則在邊 AC 上必存在點 N 的 對稱點 N ， 則 MN ＝ MN，則 BM＋MN＝ BM＋ MN ≥ N B． 當 N， M， B 三點共線時 ， BM＋ MN 最小，就等于 NB．而 N B 最小即 N B⊥ AC 時，所以 BM＋ MN 的最小值為 4． 【解】 4． 例 3 已知邊長為 a 的正三角形 ABC，兩頂點 A， B 分別在平面直角坐標系的 x軸、 y 軸的正半軸上滑動，點 C 在第一象限，連結(jié) OC，則 OC 的長的最大值是 ． 【分析】 取 AB 的中點 D，連結(jié) CD、 OD，則 CD= 32a， OD=2a，求 OC 的長的最大 值，就是求 OC≤ CD＋ OD＝ 132?a，OC 的長的最大值 132?a． 【解】 132? a． 【說明】 例 2 這種類型的題目比較普遍常見 ， 利用圖象的對稱性和兩點之間線段最短求兩線段之和的最小值 ， 而例 3 不常見， 圖中 Rt△ ABO 隨著動點 A， B 的移動形狀發(fā)生改變，正△ ABC 隨著動點 A， B 的移動邊長，形狀沒有改變，但位置發(fā)生改變，但 Rt△ ABO 中斜邊上的中線始終等于斜邊的一半，正△ ABC 中 AB 邊上的中線始終等于 32 倍， 應用第三邊小于兩邊和 (定值 )，當且僅當 O， D， C 三點共線時等于號成立 ．例 2 和例 3 恰好都運用了當三點不共線時，兩邊之和大于第三邊，當三點共線時，等于號成立．當?shù)忍柍闪r，是左邊兩線段和的最小值就等于右邊線段，右邊線段的最大值就等于左邊的兩線段之和． 3 綜合題中 探究動點問題中的定值 ． 例 4 如圖 ， 在平面直角坐標系 xoy 中 ， 拋物線 214 1018 9y x x? ? ?與 x 軸的交點為點 B,過點 B 作 x 軸的平行線 BC， 交拋物 線于點 C， 連結(jié) AC．現(xiàn)有兩動點 P,Q分別從 O， C 兩點同時出發(fā)，點 P 以每秒 4 個單位的速度沿 OA 向終點 A 移動，點Q 以每秒 1 個單位的速度沿 CB 向點 B 移動，點 P 停止運動時，點 Q 也同時停止運動，線段 OC， PQ 相交于點 D，過點 D 作 DE∥ OA，交 CA 于點 E，射線 QE 交 x軸于點 F．設(shè)動點 P,Q 移動的時間為 t(單位 :秒 ) O O A B C D 圖 153 (1)求 A,B,C 三點的坐標和拋物線的頂點的坐標 ； (2)當 t 為何值時 ， 四邊形 PQCA 為平行四邊形 ?請寫出計算過程 ； (3)當 0＜ t＜ 92 時 ， △ PQF 的面積是否總為定值 ?若是 ， 求出此定值 ， 若不是 ， 請說明理由 ； 【分析】 本題的 (2)題考查無論為何值， PA＝ QC 的等量關(guān)系不變 ，以此等量關(guān)系來列方程求 t 的值 ；第 (3)題 △ PQF 面積的值與底和高有關(guān)，本題以 PF 為底，高是定值 (平行線間的距離處處相等 )，觀察底 PF 是否與 t 無關(guān)，也是定值．本題涉及三組相似三角形的相似比，最終確定的 △ QEC 與 △ FAE 相似比是 1： 4，從而 AF＝ OP，從而 PF＝ AO＝ 18. 【解】 (1) ? ?1 2 8 1 8 018y x x? ? ?，令 y＝ 0 得 2 8 180 0xx? ? ? ， ? ?? ?18 10 0xx? ? ? ∴ 18 10xx? ? ?或 ， ∴ (18,0)A ． 令 0x? 得 10y? 即 (0, 10)B ? ． ∵ BC∥ OA， ∴點 C 的縱坐標為－ 10， 由 1421 0 1 01 8 9xx? ? ? ?得 80xx??或 ， 即 ? ?8, 10C ? 且易求出頂點坐標為 984,9???????． ∴ (18 , 0), ( 0 , 10 ) , ( 8 , 10 )A B C??，頂點坐標為 98(4, )9? ． (2)若四邊形 PQCA 為平行四邊形，由于 QC∥ PA ，故只要 QC＝ PA 即可，而18 4 ,PA t C Q t? ? ?故 18 4tt??得 185t? ． (3)設(shè)點 P