【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n，考慮 1212111 ???????? ?? axaxxx nnnn ?，而nx ， 1?nx 總是一個(gè)“ 1”，一個(gè)“ 1? ”，所以 11 ??? nn xx ,所以矛盾， 所以 1)1( ??? nnx 發(fā)散。 定理 2. （有界性）若數(shù)列 nx 收斂，那么它一定有界，即：對(duì)于數(shù)列 nx ，若 ? 正數(shù) M ，對(duì)一切 n ，有 Mxn ? 。 證 明：設(shè) axnn ???lim，由定義對(duì) ??,1? 自然數(shù) ,N 當(dāng) Nn? 時(shí)， 1??? ?axn ，所以當(dāng) Nn?時(shí)， aaaxx nn ????? 1，令 }1,{ 21 axxxM a xM N ?? ??，顯然對(duì)一切 n ，Mxn ? 。 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列 1)1( ??? nnx 是有界的（ 1?nx ），但函數(shù)收斂。此點(diǎn)希望注意！ 167。 4 函數(shù)的極限 由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù)， )(nfxn ? ，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面： 一、 自變量 x 任意接近于有限值 0x ，或講趨向（于） 0x （記 0xx? ）時(shí)，相應(yīng) 14 的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 二、當(dāng)自變量 x 的絕對(duì)值 x 無限增大，或講趨向無窮大（記 ??x ）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 一、 自變量趨向有限值 0x 時(shí)函數(shù)的極限 與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值 0x 時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng) 0xx? 時(shí)，Axf ?)( （ A 為某常數(shù)），即當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 與 A 無限地接近，或說 Axf ?)( 可任意小，亦即對(duì)于預(yù)先任意給定的正整數(shù) ? （不論多么小），當(dāng) x 與 0x 充分接近時(shí)，可使得Axf ?)( 小于 ? 。用數(shù)學(xué)的語言說，即 定義 1：如果對(duì) 0??? （不論它多么?。?，總 0??? ，使得對(duì)于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 滿足： ???Axf )( ，就稱常數(shù) A 為函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限，記為 Axfn ??? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) 0xx? 時(shí)） 注 1：“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現(xiàn)為： 0??? ，有 ???? 00 xx ，即 ),( 0 ??? xUx 。顯然 ? 越小， x 與 0x 接近就越好，此 ? 與數(shù)列極限 中的 N 所起的作用是一樣的，它也依賴于 ? 。一般地， ? 越小， ? 相應(yīng)地也小一些。 2：定義中 00 xx?? 表示 0xx? ，這說明當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 有無限與 )( 0xf 在 0x 點(diǎn)（是否有）的定義無關(guān)（可以無定義，即使有定義，與 )( 0xf 值也無關(guān)）。 3：幾何解釋：對(duì) 0??? ，作兩條平行直線 ?? ???? AyAy , 。由定義，對(duì)此 0, ???? 。當(dāng) ?? ???? 00 xxx ，且 0xx? 時(shí)，有 ?? ???? AxfA )( 。即 函數(shù))(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間（ )( 0xf 可能除外）。換言之：當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， ),()( ?AUxf ? 。從圖中也可見 ? 不唯一！ 15 【例 1】 證明 CCxx ??0lim （ C 為一常數(shù)） 證明：對(duì) 0??? ，可取任一正數(shù) ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時(shí)， ?????? 0)( CCAxf ， 所以 CCxx ??0lim。 【例 2】 證明 )0()(l im00 ????? abaxbaxxx 證明：對(duì) 0??? ，要使得 ????????? 000 )()()( xxaxxabaxbax ，只須 axx ??? 0， 所以取 0??a??顯然當(dāng) ??? 0xx 時(shí)，有 ????? )()( 0 baxbax 。 【例 3】 證明 3212 1lim221 ????? xxxx 。 證明：對(duì) 0??? ，因?yàn)?,1?a 所以)12(3 13212 13212 22?????????? ???? x xxxxx xx [此處 1?x ，即考慮 10?x 附近的情況，故不妨限制 x 為 110 ??? x ，即 20 ?? x ，1?x ]。因?yàn)?3 1)12(3 1,112 ??????? xx xx ，要使 ?????? 212 122xxx,只須 ???31x ，即 ?31??x 。取 }3,1min{ ?? ? （從圖形中解釋），當(dāng) ???? 10 x 時(shí)，有 ?????? 3212 122xxx。 定理 1：（保號(hào)性）設(shè) Axfxx ?? )(lim0， （ i） 若 )0(0 ?? AA ，則 0??? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， 0)( ?xf )0)(( ?xf 。 （ ii） 若 )0)((0)( ?? xfxf ，必有 )0(0 ?? AA 。 證明：（ i）先證 0?A 的情形。取 2A?? ，由定義，對(duì)此 0, ???? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)，2)( AAxf ??? ? ，即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 當(dāng) 0?A 時(shí)，取 2A??? ，同理得證。 （ ii） (反證法 )若 0?A ，由 (i) 0)( ?? xf 矛盾，所以 0?A 。 16 當(dāng) 0)( ?xf 時(shí)，類似可證。 注： (i)中的“ ? ”，“ ? ”不能改為“ ? ”，“ ? ”。 在 (ii)中，若 0)( ?xf ，未必有 0?A 。 在函數(shù)極 限的定義中， x 是既從 0x 的左邊（即從小于 0x 的方向）趨于 0x ，也從 0x 的右邊（即從大于 0x 的方向）趨于 0x 。但有時(shí)只能或需要 x 從 0x 的某一側(cè)趨于 0x 的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點(diǎn)處等等。這樣，就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義： 定義 2：對(duì) 0??? ， 0??? ，當(dāng) 00 xxx ??? ? 時(shí)， [當(dāng) ???? 00 xxx 時(shí) ]，有 ??? Axf )( .這時(shí)就稱 A 為 )(xf 當(dāng) 0xx? 時(shí)的左 [右 ]極限，記為 Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 。 [ Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 0 ]。 定理 2： AxfxfAxfxxxxxx ???? ????? )(l i m)(l i m)(l i m 00 000。 【例 4】 1)s g n (l i m,1)s g n (l i m0000 ??? ???? xx xx，因?yàn)?11?? ，所以 )sgn(lim0 xx?不存在。 【例 5】設(shè)??? ?? ?? 012 01)( xx xxf，求 )(lim0 xfx?。 解：顯然 11lim)(lim0000 ?? ???? xx xf 1)12(lim)(lim0000 ??? ???? xxf xx 因?yàn)?1)(lim)(lim0000 ?? ???? xfxf xx，所以 1)(lim0 ?? xfx。 二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義 3：設(shè) )(xf 當(dāng) )0( ?? aax 時(shí)是有定義的，若對(duì) )(,0 aX ????? ，當(dāng) Xx? 時(shí)，有??? Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限，記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)(（當(dāng) ??x 時(shí)）。 注 1：設(shè) )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對(duì) 0,0 ???? X? ，當(dāng) )( XxXx ??? 時(shí)，有 ??? Axf )( ， 就 稱 A 為 )(xf 當(dāng) )( ?????? xx 時(shí) 的 極 限 ， 記 為Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ）（ Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng) 17 ???x ））。 2： AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(l i m)(l i m)(l i m。 3：若 Axfx ??? )(lim，就稱 Ay? 為 )(xfy? 的圖形的水平漸近線（若 Axfx ???? )(lim或Axfx ???? )(lim ，有類似的漸近線）。 【例 6】 證明 0sinlim ??? xxx。 證明：對(duì) 0??? ，因?yàn)閤x xx x 1s i n0s i n ???，所以要使得 ???0sinxx，只須?? 11 ??? xx，故取 ?1?X ，所以當(dāng) Xx? 時(shí)，有 ???0sinxx，所以0sinlim ??? xxx 。 167。 5 無窮小與無窮大 一、無窮小 若 )(xf 當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的極限為零，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的無窮小，即有 定義 1：對(duì) ,0??? 若 )0(0 ??? X? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí)，有 ??)(xf 成立，就稱 )(xf 為當(dāng) )(0 ???? xxx 時(shí)的無窮小，記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 注 1：除上兩種之外，還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 2：無窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為 0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是 0 函數(shù)，由此得： 0 是唯一可作為無窮小的常數(shù)。 【例 1】 因?yàn)?0422)42(lim2 ?????? xx，所以 42?x 當(dāng) 2?x 時(shí)為無窮?。? 同理： 0sinlim ??? xxx，所以 xxsin 當(dāng) ??x 時(shí)為無窮小， 而 04)42(lim0 ????? xx，所以 42?x 當(dāng) 0?x 時(shí)不是無窮小。 定理 1：當(dāng)自變量在同一變化過 程 0xx? （或 ??x ）中時(shí)： （ i） 具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無窮小之和，即： A 為 )(xf 的極限 Axf ?? )( 為 18 無窮小。 （ ii） 若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限（證明在下一節(jié)）。 二、無窮大 若當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí) ??)(xf ，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí)的無窮大。 定義 2：若對(duì) )0(0,0 ????? XM ? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí)，有 Mxf ?)( ，就稱 )(xf 當(dāng) )(0 ??? xxx 時(shí)的無窮大，記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 注 1：同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時(shí)的定義。 2：無窮大也不是一個(gè)數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 【例 2】 可證明 ??? 201limxx，所以當(dāng) 0?x 時(shí)21x為無 窮大。 定理 2：當(dāng)自變量在同一變化過程中時(shí)， （ i）若 )(xf 為無窮大，則)(1xf為無窮小。 （ ii）若 )(xf 為無窮小，且 0)( ?xf ，則)(1xf為無窮大。 （證明自己看） 167。 6 極限運(yùn)算法則 由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 定理 1：有限個(gè)無窮小的和仍為無窮小，即設(shè) 0)l i m (0l i m,0l i m ????? ???? （證明在后面）。 注 1： u 與 ? 都表示函數(shù) )(xu 與 )(x? ，而不是常數(shù)。 2： “ lim ”下放沒標(biāo)自變量的變化過程，這說明對(duì) 0xx? 及 ??x 均成立，但須同一過程。 定理 2：有 界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設(shè) u 有界， 0lim0lim ??? ?? u。 證明：證明 0xx? 時(shí)的情況，設(shè)函數(shù) u 在 0x 的某鄰域 ),( 10 ?xU 內(nèi)有界，即 0??M ，當(dāng) 19 ),( 10 ?xUx? 時(shí)，有 Mu? ，又設(shè) ? 為當(dāng) 0xx? 時(shí)的無窮小，即 0lim0 ?? ?xx，故對(duì) )(0,0 1???? ????? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)，有 ?????? ?????? MMuuM 所以 0lim0 ?? ?uxx，即 ?u 為無窮?。煌砜勺C ??x 時(shí)的情形。 推論 1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若 k 為常數(shù)， 0lim0lim ??? ?? k。 推論 2：有限個(gè)無窮小的乘積仍為無