【文章內(nèi)容簡介】 (n1)， logaa(m1)]， （ 1） 求證： m3； （ 2） 求 a的取值范圍。 數(shù) 列 一 、復(fù)習(xí)要求 1 等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前 n項(xiàng)和公式及性質(zhì)； 一般數(shù)列的通項(xiàng)及前 n項(xiàng)和計(jì)算。 二 、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 數(shù)列，是按照一定順序排列而成的一列數(shù)， 從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集；第二，值域是有順序的，不能用集合符號(hào)表示。 研究數(shù)列，首先研究對(duì)應(yīng)法則 —— 通項(xiàng)公式： an=f(n)， n∈ N+，要能合理地由數(shù)列前 n項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式，其次研究前 n項(xiàng)和公式 Sn： Sn=a1+a2+? an，由 Sn定義，得到數(shù)列中的重要公式：??? ?? ?? ? 2nSS 1nSa 1nn1n。 一般數(shù)列的 an及 Sn,，除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求 Sn還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。 等差數(shù)列 （ 1）定義， {an}為等差數(shù)列 ? an+1an=d（常數(shù)）， n∈ N+? 2an=an1+an+1（ n≥ 2， n∈ N+）； （ 2）通項(xiàng)公式： an=an+(n1)d， an=am+(nm)d； 前 n項(xiàng)和公式：2 )aa(nd2 )1n(nnaS n11n ?????； （ 3）性質(zhì)： an=an+b，即 an是 n的一次型函數(shù)，系數(shù) a為等差數(shù)列的公差； Sn=an2+bn，即 Sn是 n的不含常數(shù)項(xiàng)的 二次函數(shù)； 若 {an}， {bn}均為等差數(shù)列，則 {an177。 nn},{??k1i ka},{kan+c}（ k， c 為常數(shù)）均為等差數(shù)列； 當(dāng) m+n=p+q時(shí)， am+an=ap+aq，特例： a1+an=a2+an1=a3+an2=? ； 當(dāng) 2n=p+q時(shí)， 2an=ap+aq； 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， S2n1=(2n1)an； S 奇 =21n?a 中 ， S 偶 =21n?a 中 。 等比數(shù)列 （ 1） 定義：n1naa? =q（ q為常數(shù)， an≠ 0）； an2=an1an+1（ n≥ 2， n∈ N+）； （ 2） 通項(xiàng)公式： an=a1qn1， an=amqnm。 前 n項(xiàng)和公式：????????????? 1qq1qaaq1)q1(a1qnaS n1n11n； （ 3） 性質(zhì) 當(dāng) m+n=p+q時(shí)， aman=apaq，特例： a1an=a2an1=a3an2=?， 當(dāng) 2n=p+q時(shí)， an2=apaq，數(shù)列 {kan}， {??k1i ia}成等比數(shù)列。 等差、等比數(shù)列的應(yīng)用 （ 1）基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)、公比為 基本量，借助于消元思想及解方程組思想等； （ 2）靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡化計(jì)算； （ 3）若 {an}為等差數(shù)列，則 { na }為等比數(shù)列（ a0且 a≠ 1）； 若 {an}為正數(shù)等比數(shù)列，則 {logaan}為等差數(shù)列（ a0 且 a≠ 1）。 三、典型例題 例 已知數(shù)列 {an}為等差數(shù)列，公差 d≠ 0，其中1ka，2ka，?，nka 恰為等比數(shù)列，若 k1=1， k2=5， k3=17，求 k1+k2+? +kn。 解題思路分析： 從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手 設(shè) {an}首項(xiàng)為 a1，公差為 d ∵ a1， a5， a17成等比數(shù)列 ∴ a52=a1a17 ∴（ a1+4d） 2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d 設(shè)等比數(shù)列公比為 q，則 3a d4aaaq 1n15 ???? 對(duì)nka項(xiàng)來說， 在等差數(shù)列中：1nn1k a2 1kd)1k(aa n ????? 在等比數(shù)列中： 1n11n1k 3aqaan ?? ?? ∴ 132k 1nn ??? ? ∴ n)331(2)132()132()132(kkk 1n1n10n21 ????????????????? ?? ??? 1n3n ??? 注：本題把 k1+k2+? +kn看成是數(shù)列 {kn}的求和問題，著重分析 {kn}的通項(xiàng)公式。這是解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項(xiàng)分析法”。 例 設(shè)數(shù)列 {an}為等差數(shù)列， Sn為數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，已知 S7=7， S15=75,Tn為數(shù)列{nSn}的前 n項(xiàng)和，求 Tn。 解題思路分析： 法一：利用 基本元素分析法 設(shè) {an}首項(xiàng)為 a1，公差為 d，則???????????????75d2 1415a15S7d2 67a7S11517 ∴ ??? ???1d 2a1 ∴ 2 )1n(n2S n ???? ∴ 252n2 1n2nS n ?????? 此式為 n的一次函數(shù) ∴ {nSn}為等差數(shù)列 ∴ n4an41T 2n ?? 法二： {an}為等差數(shù)列，設(shè) Sn=An2+Bn ∴ ?????????????75B1515AS7B77AS21527 解之得：??????????25B21A ∴ n25n21S 2n ??，下略 注：法二利用了等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的性質(zhì) 例 正數(shù)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 1aS2 nn ?? ，求： （ 1） 數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2） 設(shè)1nnn aa1b??，數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)的和為 Bn，求證： Bn21?. 解題思路分析： （ I） 涉及到 an及 Sn的遞推關(guān)系，一般都用 an=SnSn1（ n≥ 2）消元化歸。 ∵ 1aS2 nn ?? ∴ 4Sn=(an+1)2 ∴ 4Sn1=(an1+1)2（ n≥ 2） ∴ 4(SnSn1)=(an+1)2(an1+1)2 ∴ 4an=an2an12+2an2an1 整理得： (an1+an)(anan12)=0 ∵ an0 ∴ anan1=2 ∴ {an}為公差為 2的等差數(shù)列 在 1aS2 nn ?? 中，令 n=1， a1=1 ∴ an=2n1 （ II） )1n2 11n2 1(21)1n2)(1n2( 1b n ??????? ∴ 21a2 121)a 1a1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(21B 1n1n11nn3221n ???????????? ???? 注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由 4Sn=(an+1)2推出 4Sn1=(an1+1)2，它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法。在數(shù)列中一般用 n1， n+1 等去代替 n，實(shí)際上也就是說已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于 n 的恒等式，代換就是對(duì) n賦值。 例 等差數(shù)列 {an}中，前 m項(xiàng)的和為 77（ m為奇數(shù)），其中偶數(shù)項(xiàng)的和為 33，且 a1am=18，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析： 利用前奇數(shù)項(xiàng)和和與中項(xiàng)的關(guān)系 令 m=2n1， n∈ N+ 則 ??? ??????? 33a)1n(S 77a)1n2(Snn1n2偶 ∴ 33771n 1n2 ??? ∴ n=4 ∴ m=7 ∴ an=11 ∴ a1+am=2an=22 又 a1am=18 ∴ a1=20， am=2 ∴ d=3 ∴ an=3n+23 例 設(shè) {an}是等差數(shù)列，nan )21(b ?，已知 b1+b2+b3=821， b1b2b3=81，求等差數(shù)列的通項(xiàng) an。 解題思路分析： ∵ {an}為等差數(shù)列 ∴ {bn}為等比數(shù)列 從求解 {bn}著手 ∵ b1b3=b22 ∴ b23=81 ∴ b2=21 ∴ ??????????41bb817bb2131 ∴ ????? ??81b2b31 或 ???????2b 81b21 ∴ n231nn 2)41(2b ?? ?? 或 5n21nn 2481b ?? ??? ∵ nan )21(b ? ∴ n21n bloga ? ∴ an=2n3 或 an=2n+5 注：本題化歸 為 {bn}求解，比較簡單。若用 {an}求解，則運(yùn)算量較大。 例 已知 {an}是首項(xiàng)為 2，公比為21的等比數(shù)列， Sn為它的前 n項(xiàng)和， （ 1） 用 Sn表示 Sn+1； （ 2） 是否存在自然數(shù) c和 k，使得 2cS cS k1k ????成立。 解題思路分析： （ 1）∵ )211(4S nn ?? ∴ 2S21)2 11(4S n1n1n ???? ?? （ 2） 0Sc)2S23(c2cS cS kkk1k ?? ??????? （ *） ∵ 4)211(4S kk ??? ∴ 0S212)2S23(S kkk ????? ∴ 式（ *）kk Sc2S23 ???? ① ∵ Sk+1Sk ∴ 12S232S23 1k ???? 又 Sk4 ∴ 由①得： c=2或 c=3 當(dāng) c=2時(shí) ∵ S1=2 ∴ k=1時(shí)， cSk不成立，從而式①不成立 ∵ c252S23 2 ??? ∴ 由 SkSk+1得： 2S232S23 1kk ??? ? ∴ 當(dāng) k≥ 2時(shí)， c2S23 k ??，從而式①不成立 當(dāng) c=3時(shí)， S12， S2=3 ∴ 當(dāng) k=1， 2時(shí)， CSk不成立 ∴ 式①不成立 ∵ 2S232S23,c4132S23 1kkk ?????? ? ∴ 當(dāng) k≥ 3時(shí)， c2S23 k ??，從而式①不成立 綜上所述，不存在自然數(shù) c， k，使 2cS cS k1k ????成立 例 某公司全年的利潤為 b元，其中一部分作為資金發(fā)給 n位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相等）從大到小，由 1到 n排序，第 1位職工得資金nb元，然后 再將余額除以 n 發(fā)給第 2 位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金。 （ 1）設(shè) ak（ 1≤ k≤ n）為第 k 位職工所得資金額，試求 a2， a3，并用 k， n 和 b 表示 ak（不必證明）； （ 2）證明： akak+1（ k=1， 2，?， n1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義。 解題思路分析： 談懂題意，理清關(guān)系，建立模型 第 1位職工的獎(jiǎng)金nba1? 第 2位職工的獎(jiǎng)金 b)n11(n1a 2 ?? 第 3位職工的獎(jiǎng)金 b)n11(n1a 23 ?? ?? 第 k位職工的獎(jiǎng)金 b)n11(n1a 1kk ??? （ 2） 0b)n11(n1aa 1k21kk ???? ?? 此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則。 例 試問數(shù)列 {4sin100lg 1n ??}的前多少項(xiàng)的和最大，并求這個(gè)最大值（ lg2=） 解題思路分析： 法一： )1n)(2lg(2a n ???? ∴ {an}為首項(xiàng)為 2，公差為 2lg? 的等差數(shù)列 ∴ 0 7 5 2 )(0 7 5 2 n50 7 5 7 5 2 )2lg(2 )1n(nn2S222n???????????? ∵ n∈ N+ ∴ n=14時(shí) ， (Sn)max= 法二：∵ a1=20， d= 02lg ?? ∴ {an}是遞減數(shù)列，且 Sn必為最大值 設(shè)??? ??? 0a 0a 1kk ∴ ????????????0)2lg(k20)2lg)(1k(2 ∴ ??? ?? ∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14= 四、 同步練習(xí) （一） 選擇題 已知 a， b， a+b成等差數(shù)列， a， b， ab成等比數(shù)列，且 0logmab1，則 m取值范圍是 A、 m1 B、 1m8 C、 m8 D、 0m1或 m8 設(shè) a0， b0， a， x1， x2， b成等差數(shù)列， a， y1， y2， b成等比數(shù)列，則 x1+x2與 y1+y2的大小關(guān)系是 A、 x1+x2≤ y1+y2