【正文】 時(shí)， 02cos2sin ???? ∴ 原式 = )2a rc t a n2s i n (522c o s42s i n2 ???????? ∴ 原式 =?????????????????????223)2a r c t a n2s i n (52232s i n2 注： 本題利用了“ 1”的逆代技巧，即化 1為2cos2sin 22 ???，是欲擒故縱原則。 分析： 原式 =002020202 10s i n2 1140c o s140s i n 140s i n140c o s3 ?? 161 6 0si n2 0 0si n1680c o s80si n2 0 0si n810si n2180si n412 0 0si n80si n410si n21)40c o s40si n()1 4 0si n1 4 0c o s3)(1 4 0si n1 4 0c o s3(000000020002000000?????????????? 注：在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式 過程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如本題平方差公式。 分析： 對(duì)三角函數(shù)式降冪 81x2c o s2x2c o s141xs i n41)xs i n21(2xc o s2xs i n)2xs i n1(2xs i n2xs i n2xs i n22222224???????????????? ∴ f(x)= 8 1x2cosa ? 令 81x2cos81u ?? 則 y=au ∴ 0a1 ∴ y=au是減函數(shù) ∴ 由 ]k2,k2[x2 ????? 得 ]k,2k[x ?????，此為 f(x)的減區(qū)間 由 ]k2,k2[x2 ????? 得 ]2k,k[x ?????，此為 f(x)增區(qū)間 ∵ u(x)=u(x) ∴ f(x)=f(x) ∴ f(x)為偶函數(shù) ∵ u(x+π )=f(x) ∴ f(x+π )=f(x) ∴ f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為π 當(dāng) x=kπ（ k∈ Z）時(shí)， ymin=1 當(dāng) x=kπ +2?（ k∈ Z）時(shí)， ynax= 41a 注：研究三角函數(shù)性質(zhì)，一般降冪化為 y=Asin(ω x+φ )等一名一次一項(xiàng)的形式。 （三） 解答題 1 已知 tan(α β )=21， tanβ =71?，α，β∈（ π， 0），求 2α β的值。 向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。 (λ ?b )=λ (?a |λ |=|b||a|?? ，λ的大小由 ?a 及 ?b 的大小確定。y hx39。 根據(jù)平面向量基本定理，任一向量 ?a 與有序數(shù)對(duì) (λ 1,λ 2)一一對(duì)應(yīng)，稱 (λ 1,λ 2)為 ?a 在基底 { 1e? ， 2e? }下的坐標(biāo)，當(dāng)取 { 1e? ， 2e? }為單位正交基底 {?i ， ?j }時(shí)定義 (λ 1，λ 2)為向量 ?a 的平面直角坐標(biāo)。 ?a ； (λ ?a ) 向量運(yùn)算中的基本圖形：①向量加減法則：三角形或平行四邊形；②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義 — — 共線；③定比分點(diǎn)基本圖形 —— 起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。 1 已知 (x1)2+(y1)2=1，則 x+y的最大值為 ________。 ∵ 2α +β =(α +β )+α，β =(α +β )α ∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )α ]=0 展開得： 13cos(α +β )cosα 3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα得： tan(α +β )tanα =313 （ 2） 以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā) ∵ 3ta n 1ta n2c o s3s in c o ss in2 ?? ?????? ??? ∴ 53tan 1tan2 ???? ?? ∴ tanθ =2 ∴ 57t a n1 t a n8t a n33c o ss i n c o ss i n8)s i n(c o s32s i n42c o s3 2222 22 ??? ???????? ?????????? 注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降冪。 3 cosx，要熟練掌握變形結(jié)論。 三 、典型例題 例 已知函數(shù) f(x)= )xcosx(sinlog21 ? （ 1） 求它的定義域和值域； （ 2） 求它的單調(diào)區(qū)間； （ 3） 判斷它的奇偶性； （ 4） 判斷它的周期性。 三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。 利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。為了把握這些角之間的聯(lián)系，引進(jìn)終邊相同的角的概念，凡是與終邊α相同的角，都可以表示成 k 1若不等于 1的三個(gè)正數(shù) a， b， c成等比數(shù)列，則 (2logba)(1+logca)=________。 例 已知 {an}是首項(xiàng)為 2，公比為21的等比數(shù)列， Sn為它的前 n項(xiàng)和， （ 1） 用 Sn表示 Sn+1； （ 2） 是否存在自然數(shù) c和 k，使得 2cS cS k1k ????成立。 例 設(shè)數(shù)列 {an}為等差數(shù)列， Sn為數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，已知 S7=7， S15=75,Tn為數(shù)列{nSn}的前 n項(xiàng)和，求 Tn。 等差數(shù)列 （ 1）定義， {an}為等差數(shù)列 ? an+1an=d（常數(shù)）， n∈ N+? 2an=an1+an+1（ n≥ 2， n∈ N+）； （ 2）通項(xiàng)公式： an=an+(n1)d， an=am+(nm)d； 前 n項(xiàng)和公式：2 )aa(nd2 )1n(nnaS n11n ?????； （ 3）性質(zhì)： an=an+b，即 an是 n的一次型函數(shù)，系數(shù) a為等差數(shù)列的公差； Sn=an2+bn，即 Sn是 n的不含常數(shù)項(xiàng)的 二次函數(shù)； 若 {an}， {bn}均為等差數(shù)列，則 {an177。 1設(shè)定義在 [2， 2]上的偶函數(shù) f(x)在區(qū)間 [0， 2]上單調(diào)遞減，若 f(1m)f(m)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 函數(shù) f(x)定義域?yàn)?[1， 3]，則 f(x2+1)的定義域是 __________。 f(2xx2)=f[x+(2xx2)]=f(x2+3x) 又 1=f(0)， f(x)在 R上遞增 ∴ 由 f(3xx2)f(0)得： 3xx20 ∴ 0x3 評(píng)注： 根據(jù) f(a+b)=f(a)在化歸過程中還體現(xiàn)了整體思想。 應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。 設(shè)函數(shù) f(x)定義域?yàn)?A，值域?yàn)?C， 則 f1[f(x)]=x， x∈ A f[f1(x)]=x， x∈ C 函數(shù)的圖象 函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過程中，充分發(fā)揮圖象的工具作用。 利用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化判斷奇偶性的步驟。 函數(shù)對(duì)應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。 （ 2）函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集 A， B上的映射，此時(shí)稱數(shù)集 A 為定義域，象集 C={f(x)|x∈ A}為值域。 （三） 解答題 1 設(shè)集合 A={(x， y)|y=ax+1}， B={(x， y)|y=|x|}，若 A∩ B 是單元素集合，求 a 取值范圍。 例 求直線 ?： axy+b=0經(jīng)過兩直線 ?1： 2x2y3=0和 ?2： 3x5y+1=0交點(diǎn)的充要條件。此集合與集合 {（ x， y） |y=x2+1， x∈ R}是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線 y=x2+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。 集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。特崗教師招聘考試 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)總復(fù)習(xí)題綱 一、復(fù)習(xí)要求 理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義； 掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法； 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法； 理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系； 學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。 （ 3）四種命題：記“若 q則 p”為原命題，則否命題為“若非 p則非 q”，逆命題為“若q則 p“，逆否命題為”若非 q則非 p“。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。一般地，集合 {y|y=f(x)， x∈ A}應(yīng)看成是函數(shù) y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合。 解題思路分析： 利用“ ? ”、“ ? ”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系 D? C? B? A ∴ D? A， D是 A的充分不必要條件 說明：符號(hào)“ ? ”、“ ? ”具有傳遞性，不過前者是單方向的，后者是雙方向的。 1 非空集合 p 滿足下列兩個(gè)條件：（ 1） p?? {1， 2， 3， 4， 5}，（ 2）若元素 a∈ p，則6a∈ p，則集合 p個(gè)數(shù)是 __________。既是單射又是滿射的映射稱為一一映射。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。 函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性質(zhì)，定 義式是定義域上的恒等式。 （ 4）反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一，在求反函數(shù)之前首先要判斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù) f(x)的反函數(shù) f1(x)的性質(zhì)與 f(x)性質(zhì)緊密相連，如定義域、值域互換，具有相同的單調(diào)性等，把反函數(shù) f1(x)的問題化歸為函數(shù) f(x)的問題是處理反函數(shù)問題的重要思想。聯(lián)系到具體的函 數(shù)模型可以簡(jiǎn)便地找到解題思路，及解題突破口。 解題思路分析： 利用化歸思想解題 ∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=f(x+2) ∵ 該式對(duì)一切 x∈ R成立 ∴ 以 x2代 x得： f(x2)=f[(x2)+2]=f(x) 當(dāng) 1x≤ 3時(shí)， 1x2≤ 1 ∴ f(x2)=2(x2)1=2x5 ∴ f(x)=f(x2)=2x+5 ∴ f(x)=2x+5（ 1x≤ 3） 評(píng)注： 在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。 分析： （ 1） 令 a=b=0，則 f(0)=[f(0)]2 ∵ f(0)≠ 0 ∴ f(0)=1 （ 2） 令 a=x， b=x 則 f(0)=f(x)f(x) ∴ )x(f 1)x(f ?? 由已知 x0時(shí)， f(x)10 當(dāng) x0時(shí)， x0， f(x)0 ∴ 0)x(f 1)x(f ??? 又 x=0時(shí)， f(0)=10 ∴ 對(duì)任意 x∈ R， f(x)0 （ 3） 任取 x2x1，則 f(x2)0， f(x1)0， x2x10 ∴ 1)xx(f)x(f)x(f)x(f )x(f 121212 ?????? ∴ f(x2)f(x1) ∴ f(x)在 R上是增函數(shù) （ 4） f(x) 已知 y=loga(2x)是 x的增函數(shù)，則 a的取值范圍是 __________。 （三） 解答題 1若函數(shù)cx 1ax)x(f 2 ??? 的值域?yàn)?[1， 5]，求 a， c。 一般數(shù)列的 an及 Sn,，除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，求 Sn還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。這是解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項(xiàng)分析法”。若用 {an}求解，則運(yùn)算量較大。 1長(zhǎng)方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為 216cm3，則全面積的最小值是 ______cm2。這樣一來，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時(shí)，其大小不一定（通常把角的始邊放在x 軸正半軸上，角的頂點(diǎn) 與原點(diǎn)重合，下同）。在弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式 ?=|α |R，扇形面積 公式 ||R21R21S 2 ??? ?，其中α為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)。 三角變換公式除用來化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及 性質(zhì)做準(zhǔn)備。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù) 圖象幫助解題； （ 3） 分類討論。 sinx177。 分析： （ 1） 從變換角的差異著手。 1 函數(shù) y=2sinxcosx 3 (cos2xsin2x)的最大值與最小值的積為 ________。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。 ?b =?b ?b )2= 22 bba2a ???? ??? 2 重要定理、公式 （ 1）平面向量基本定理；如果 1?