【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ? ? ( 1 ) nz11.11 1.z11.1z111z 1 2 2=c os si n , ( 1 , 2 , , 1 )12 2 2 2z c os si n c os si n ,nnnzNzzzznzkki k nz n nk k k kiin n n n??? ? ? ?? ? ?????? ? ?????????? ? ????23 、 解 方 程 （ z+1 ） （ 1,n ）解 ： 顯 然 ， z 1. 故 （ ） 是 的 次 虛 根 . 即 ： 去 分 母 ， 整 理 得 ： ( 1 )= 1+ z si n ( si n c os ) c os ( c os si n ) .si n 0 ,c os si nz . ( 1 , 2 , , 1 )si n c osk k k k k kiin n n n n nknkkikknnc t y i c t y k nkknninn? ? ? ? ? ????????? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 由 倍 角 公 式 ， 01 1 2 17 2n2 n 12 n 124 1 ( )22=c os si n ,nn+ + + + = 03 nz n Nmminnm n m n m n????? ? ?? ? ?? ? ? ????? ? ?、 設(shè) 是 方 程 的 一 個(gè) 虛 根 。 其 中 , N,1 且 ， 互 質(zhì) ， 求 證 ：（ 1 ） ， ， ， 是 1 的 個(gè) 不 同 的 n 次 方 根 （ 次 單 位 根 ）（ 2 ） 1 ；（ ） (1 ） (1 ） （ 1 ） =n. k ( ) 1 ( 1 )n n k kn?? ? ? ? ?證 明 ： （ 1 ） （ ） 2 n 1 1 n? ? ?? ， ， ， 都 是 的 次 根 。 , , 1 ,2 2 2 2c o s sinjj l N j l nk m k min j n j? ? ? ??? ? ? ?????若 2 2 2 2c o s s inl k m k min l n l? ? ? ?? ???? 2 2 2 2c os = c os2 2 2 2sin = sinj lk m k mnj nlk m k mnj nl? ? ? ?? ? ? ?????????????????假 設(shè) ， 則 有 j l j l? ? ? 和 矛 盾 2n nj l??? ? ???? ， ， ， 是 1 的 個(gè) 不 同 的 n 次 方 根 . 2 n 1+ + + +1 =11n n? ? ?? ?? ?? ?(2)1 =0 ( 由 （ 1 ） ) 213 z 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) . ( )nnz z z z? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 由 （ 1 ） 121 2 2 1z 1 ( 1 ) zz ( ) ( ) ( ) .n n nn n nz z z z? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?又 （ +z + +z+1 ） +z + +z+1 21z(1 ) (1 ) (1 ) =nn? ? ? ?? ? ?令 上 式 中 =1, 有 ： 18 2 5 z + 3 1 , z a r giz??、 設(shè) 求 和 的 最 大 值 和 最 小 值 . z + 3 = 1 3 z + 3 1ii???解 ： 如 圖 所 示 ， 是 以 （ ， 1 ） 為 圓 心 ，以 1 為 半 徑 的 圓 ， 滿 足 的 z是 位 于 這 圓 內(nèi) 部 和 圓 周 上 的 點(diǎn) 所 對 應(yīng) 的 復(fù) 數(shù) ， a r g a r g ?當(dāng) z 位 于 A 點(diǎn) 時(shí) ， z 最 小 ， 此 時(shí) , z = . 1a r g = = = 63 ?? ? ? ?當(dāng) z 位 于 C 點(diǎn) 時(shí) ， z 最 大 ， 此 時(shí) ， C O D A O D ， 而 t a n A O D ， A O D . 4a r g + =63z ????故 的 最 大 值 為 2 ， 22z = ( 3 ) 1 1 3 .B O D O B? ? ? ? ?當(dāng) 位 于 點(diǎn) 時(shí) ， 模 最 大 ， 最 大 的 模 22z = ( 3 ) 1 1 1 .E O E O D D E? ? ? ? ? ?當(dāng) 位 于 點(diǎn) 時(shí) ， 模 最 小 ， 最 小 的 模 26 z 3. z zz z z z? ? ?、 設(shè) 復(fù) 數(shù) 滿 足 求 所 對 應(yīng) 的 點(diǎn) 的 軌 跡 。 2z + 1 4.z ( 1 ) ( 1 ) 4( 1 ) ( 1 ) 4( 1 ) ( 1 ) 4( 1 ) 4( 1 ) 2zzzzzzzzzzzz? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?解 ： 因 此 ， 點(diǎn) 是 以 （ 1 ， 0 ） 為 圓 心 ， 以 2 為 半 徑 的 圓 。 27 xsin + sin2 + + sinn 1c os c os 2 c os 2x x x ntg xx x nx??????、 設(shè) 0, x R, 應(yīng) 用 復(fù) 數(shù) 證 明 ： ? ?123c osn si nz =c os si n .z ( 1 )z=11n nnx i nxx i xz zzz z zzz???? ?? ? ? ? ???證 明 ： 考 慮 數(shù) 列 ， 這 是 等 比 數(shù) 列 .設(shè)則 y A B C D E 0 x 3 1 19 21( c os sin ) ( c os sin ) ( c os sin )( c os sin ) ( c os sin )1 ( c os sin )nnx i x x i x x i xx i x x i xx i x?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ( c o s sin ) ( c o s2 sin 2 ) ( c o sn sin )( c o s sin ) ( c o s( n + 1 ) sin ( 1 ) )1 ( c o s sin )x i x x i x x i n xx i x x i n xx i x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ( c os c os2 c osn ) ( sin sin 2 sin n )c os c os( 1 ) sin sin( 1 )( 1 c os ) sinc os c os( 1 ) sin sin( 1 ) 1 c os sinsin2x x x i x x xx n x i x n xx i xx n x i x n x x i xx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? c o s c o s( 1 ) ( 1 c o s ) sin sin( 1 ) ( 1 c o s )sin 2x n x x i x n x xx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? c os c os( + 1 ) sin sin sin sin( 1 )sin 2i x n x x x x n xx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 22c os c os c os ( 1 ) c os c os ( 1 ) ( si n si n c os si n( 1 )si n si n22si n( 1 ) c os si n c os si n c os ( 1 ) si n si n si n( 1 ) )si n 2x x n x x n x i x x x n xxxn x x x x x n x x x n xx? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? c os 1 c os( 1 ) + c os n si n si n( 1 ) si nsi n2si n( 1 ) ( 1 )2c os si n22si n2x n x x i x n x nxxnxnnx i xx? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ????? ? ?? 20 si n( 1 )2c os c os2 c osn c os2si n2si n( 1 )2si n si n 2 si n n si n2si n2si n si n 2 si n n 1c os c os2 c osn 2nxnx x x xxnxnx x x xxx x x nt g xx x x?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? 12121 2 11228 , , ,0 , c os si n ,si n si n 2 si n n 0nn n n nnnp p px p x p x p x p ip p p??? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?、 設(shè) 為 實(shí) 數(shù) ， 方 程 ：有 一 根求 證 ： 121 2 n1 2 1k12si n si n 2 si n n 0,10( c os si n ) c os si n1 ( c os si n ) ( c os 2nnnkp p pxp x p x p xx i k i kp i p? ? ?? ? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???求 證 ：證 明 ： 在 原 方 程 兩 邊 同 乘 以 得 ： (1) 將 (k=1,2, ,n) 代 入 （ 1 ） 式 ， 得 ： 11212 si n 2 ) ( c os n si n ) 0( 2 ) , , ,si n si n 2 si n n 0.nnni p i np p p Rp p p? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? (2) 式 左 邊 的 實(shí) 部 和 虛 部 都 應(yīng) 為 0 ， 由 于 ， 故 有 ： 21 習(xí)題二 1 ( )( 1 ) = 10 ( 2 ) = 1 ( 4 ) = 10 1 ( 5 ) = 21 8 ( 3 ) .xx、 設(shè) 是 的 三 次 式 ， 已 知 ： ， ， ， ， 試 求ff f f f f 3233( ) = .a 10 a28 4 2 1 0564a 8 4 1017125a 25 5 218( ) 2 5 7.( 3 ) 2 3 5 3 7 = 32.x ax bx c x db c da b c d bcb c ddb c dx x x? ?? ?? ????????? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?解 ： 法 一 ： 設(shè) 則 有 ： 解 得 ： fff 0 1 2 30 001 120 1 20 1 2 3( ) = ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )( 1 ) = 10 10( 2 ) + = 1 9( 3 ) +3 + 6( 4 ) 4 12 12 218x a a x a x x a x x xa aaa aaa a aa a a a?????????? ? ?