數(shù)字信號處理模擬濾波器設(shè)計無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(編輯修改稿)
2025-02-03 15:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 dBH e dB????????αc=3db時，對應(yīng)的頻率記為 wc,稱為 3db截止頻率。 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 IIR濾波器和 FIR濾波器的設(shè)計方法是很不相同的 。IIR濾波器設(shè)計方法有兩類 ， 經(jīng)常用的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行的 。 其設(shè)計步驟是：先設(shè)計模擬濾波器得到傳輸函數(shù) Ha(s)， 然后將 Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 FIR濾波器通常直接在頻域或時域內(nèi)進(jìn)行 ， 借助窗函數(shù)法設(shè)計 。 IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計 IIR濾波器常借助模擬濾波器來設(shè)計 ， 方法是首先將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的模擬濾波器技術(shù)指標(biāo) ， 然后設(shè)計滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器 Ha(s)， 最后將設(shè)計出的模擬濾波器 Ha(s)轉(zhuǎn)換為滿足技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器 H(z)。 為了保證轉(zhuǎn)換后的 H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求 ， 對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)的極點全部位于 s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定則要求H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)。因此， 轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是 s平面的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi)。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響 ， s平面的虛軸映射 z平面的單位圓 。 脈沖響應(yīng)不變法的核心是通過將模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng) ha(t)等間隔采樣得到離散序列 ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中， T為采樣間隔 )，即得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法，轉(zhuǎn)換步驟如下： 拉氏逆變換 等間隔采樣 Z變換 Ha(s) Ha(t) Ha(nT)=h(n) H(z) 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為 Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是 ha(t)，即 ( ) [ ( ) ]aaH s L T h t? 設(shè)模擬濾波器 Ha(s)只有單階極點 ， 且分母多項式 的階次高于分子多項式的階次 ， 將 Ha(s)用部分分式表 示： 1()Niai iAHsss?? ??(63) 式中 si為 Ha(s)的單階極點 。 將 Ha(s)進(jìn)行逆拉氏 變換得到 ha(t)： ???Nitsia tueAthi1)()( 式中 u(t)是單位階躍函數(shù)。對 ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到： 1( ) ( ) ( )iNs n Taiih n h n T A e u n T??? ?(64) 對上式進(jìn)行 Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)： 11() 1iNisTiAHzez ??? ?? (65) 設(shè) ha(t)的采樣信號用 ha(t)表示 ， ^( ) ( ) ( )a anh t h t t n T??? ? ???????Nitsia tueAthi1)()( 對 進(jìn)行拉氏變換，得到 : ^ ()aht^^( ) ( )[ ( ) ]()sta astans nTH s h t e dth t nT e dtnT e???????????????????? 式中 ha(nT)是 ha(t)在采樣點 t=nT時的幅度值 ， 它與序列 h(n)的幅度值相等 ， 即 h(n)=ha(nT)， 因此 得到 : ^ ( ) ( ) ( ) ( )s T s Ts n T naz e z ennH s h n e h n z H z?? ??? ? ???() 上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的 Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號 ha(t)的傅里葉變換 Ha(jΩ)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足下式 (采樣定理）： sTze?(68) ^ ()aht^ ()aHj?將 s=jΩ代入上式 ， 得 所以 (69) (610) (611) ? ?????ksaaz ksHTsHzH sT )j(1)(?)(e? ???ksaa ksHTsH )j(1)(^??????????ksaa kHTH )j(j1)(j^ 上式表明將模擬信號 ha(t)的拉氏變換在 s平面上沿虛軸按照周期 Ωs=2π/T延拓后 ， 再按照 (68)式映射關(guān)系 ，映射到 z平面上 ， 就得到 H(z)。 (68)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系 。 下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系 。 設(shè) jsjz re ??? ? ??按照 (68)式 ， 得到 : j T j Tre e e?? ??因此得到 : TreT??? ?? ??? (612) 那么 σ=0,r=1 σ0,r1 σ0,r1 另外 ， 注意到 z=esT是一個周期函數(shù) ， 可寫成 2() ,j M Ts T T j T T Te e e e e M??? ????? 為任意整數(shù) 圖 65 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 圖 66 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象 ， 即滿足 按照 (611)式 ， 并將關(guān)系式 s=jΩ代入 ， ω=ΩT， 代入得到： 令 ^ ()aHj?( ) 0 , /aH j T?? ? ? ?1( ) ( ),jaH e H jTT? ? ????11( ) ( )()1( ) ( / ) ,iaNisTijah n T h n TTAHzezH e H j T?? ? ????????? 一般 Ha(s)的極點 si是一個復(fù)數(shù) ， 且以共軛成對的形式出現(xiàn) ， 在 (63)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起 ，形成一個二階基本節(jié) 。 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 1112211()s js? ??? ? ? ?? ? ?極點為 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié) (只有實
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