【文章內(nèi)容簡介】 ???? 依題意有： ( ) 0. 5 ( )( 1. 5 ( ) )( ) ( )()1 0. 5()( ) 0. 04 161. 64 5 0. 5 0. 5( ) 0. 02 32 614 5. 04DS E S E SP S E S PVar S Var SESVar SE S nVar S nn???? ? ???????? ? ? ??????? ? ? ? ???? 選第六章 短期聚合風險模型 ?[知識要點 ] ? 短期聚合風險模型 ? 對于 ,其中 N表示保險期內(nèi)所有承保保單發(fā)生索賠的 ? 次數(shù)隨機變量， Xi 表示第 I次發(fā)生理賠時的理賠額隨機變量， S為保險期內(nèi)的理賠總額隨機變量。 Xi 對不同的 i是獨立同分布的， N 與各 Xi是獨立的。稱此模型為短期聚合風險模型。 ? 理賠次數(shù)和理賠額的分布 ? （ 1） 泊松分布的定義 、 分布列 、 期望與方差 、 矩母函數(shù)： ? （ 2） 負二項分布的定義 、 分布列 、 期望與方差 、 矩母函數(shù) 。 ? 負二項分布可以看作是泊松分布的一種推廣，假設泊松參數(shù)也是一個隨機變量，且有密度函數(shù) f(x)，由全概率公式有： Nii=1S= x?( ) ( , ) ( )0()0nxP N n P N n x f x d xxef x d xn????? ? ? ???????? 而： ? 特別地，當 λ 的密度為 ， x＞ 0時， N服從參 ? 數(shù) r = a ,p= β /1+ β 的負二項分布。 ? ? （ 3） S的分布問題 ? ? 假設 S的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為 F（ x）和 f(x),則： ( 1 )( ) ( ( , ) ) ( )( ) ( ( , ) ) ( ( , ) )( ) ( )( ) ( ) ( ( , ) ) ( )( 1 )tt N t N eNtE N E E N EV a r N E V a r N V a r E NE V a rM t E e E E e E eMe????????????????? ? ???1()()xaf x e xa?? ???? ? 除用卷積方法之外，還可以用矩母函數(shù)法及逆轉(zhuǎn)公式來求 S的分布，由矩母函數(shù)的定義有： ? 其中 X是與各 Xi 同分布的隨機變量。 ? 也就是說，若知道 Xi 和 N的矩母函數(shù)，就可計算出 S的矩母函數(shù)， 012000( ) ( ) ( , ) ( )( ... ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )nnnnnnnF x P S x P S x N n P N nP X X X x P N nP x P N nf x P x P N n??????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????l n ( )( ) ( ) ( ( , ) ) ( ( ) )( ) ( l n ( ) )Xt S t S NsXN M tNXM t E e E E e N E M tE e M M t? ? ???? 而 ? 復合泊松分布 ? 在聚合風險 中，當 N服從泊松分布時， S的分布就稱 ? 為復合泊松分布。這樣： E（ S） =E（ X） ?E（ N） =λ ?E（ X） ? 其中 λ 為泊松參數(shù)。 2( ) ( ( , ) ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( ( , ) ) ( ( , ) )( ( ) ) ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( )E S E E S N E N E X E X E NV a r S V a r E S N E V a r S NV a r N E X E N V a r XE X V a r N E N V a r X? ? ?????? ? ?Nii=1S= x?l n ( )2200( ) 1 )( 1 ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )()()Mt XXnnsnnnsnMtesV a r S E X V a r N E N V a r X E XeF x p xnef p xnM t e e???????????????????? ? ? ?????????? 關于復合泊松分布有如下的幾個定理和規(guī)律： ? （ 1）如果 S1， S2， … ， Sm是相互獨立的隨機變量，且 Si服從參數(shù)為 λ i 的復合泊松分布，理賠額的分布為 Pi(x),i=1,2,…,m, 則 ? 服從參數(shù)為 的復合泊松分布，且個別理賠 ? 額分布為： ? （ 2）對于一個復合泊松分布隨機 ，可以分解為： ? 個別理賠額的分布列為： 1miiSS???1mii?????1( ) ( )miiiP x P x???? ?Nii=1S= x?1miiiS x N?? ?X x1 x2 … x m P p1 p2 … p m ? 則 N1， N2， … ， Nm相互獨立且 Ni服從參數(shù)為 λ i=λ pi的泊松分布，其中 λ 為 S的泊松參數(shù)。 ? 對于此定理，若 xi僅取正整數(shù)值，則理賠總額 S的密度函數(shù)為： ? 對于此定理，還有更普遍的推廣，也就是說在聚合風險模型中，若理賠額只取正整數(shù)，理賠次數(shù) N的分布滿足： ? (n=1,2,…) ? （ 3）在復合泊松分布中，若保險標的損失隨機變量為 X，保險合同有一個免賠額 d，即 ， Xd ? , X≤ d ? 是其真正的理賠額隨機變量，泊松參數(shù)為 λ ，則帶免賠的理賠總額 S仍是復合泊松分布，泊松參數(shù)變?yōu)?λ ?P（ x d),個別理賠額的分布密度函數(shù)為： 11()( ) ( )xxiiiii i p f x if x f x ixx?????? ? ???()( 1 )P N n baP N n n? ????,0,XdY ??? ?? ? 聚合理賠量的近似模型 ? （ 1）正態(tài)近似 ? 定理 如果 S是復合泊松分布，泊松參數(shù)為 λ ，個別理賠額的數(shù)學期望 μ 與方差 σ 2有界，則： ? 定理 如果 S服從復合負二項分布，參數(shù)為 r,p,個別理賠額隨機變量的數(shù)學期望與方差分別為有界的 μ 與 σ 2 ，則： ()()( x d )XYf x dfxp??2222l im ( )()( ) , ( ) ( )SP x xE S D S???? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ????? ? ?其 中 ，222222l i m ( )1 , ( ) , ( )rrqSpP x xrq rqpprq rq rqq p E S Var Sp p pp??????????????? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ??其 中 ，? （ 2）平移伽馬近似 ? 定義 ? 其中， g（ x）為 Γ (α ,β ) 分布的概率密度函數(shù)， h（ x）為相應的平移 x0個單位的平移伽馬分布的概率密度函數(shù)。 ? 由定義知平移伽馬分布有三個參數(shù) x0， α ,β ，如果能定出這三個參數(shù)，這個分布也就已知。求解下面的方程組可解決這一問題： 100),0 ()H ( , , ) ( , , )axxx e d xx x G x x??????? ? ? ????????若 G ( x , ,則 ,為 平 移 伽 馬 分 布 的 分 布 函 數(shù) 。20 30223332 ( ( ) )()[ ( ( ) ) ]()[ ( ( ) ) ]2 ( )[ ( ( ) ) ] 2[ ( ( ) ) ]V a r Sx E SE S xE S E SV a r SE S E SV a r SE S E SE S E S????????? ????????????????? ? ? ?????3（ ）(Var(S))解 得 ： =4?[重點及難點解析 ] ? 本章的重點內(nèi)容是復合泊松分布，包括當個別理賠額是正整數(shù)時的復合泊松分布，另外，理賠總額 S分布的正態(tài)近似及平移伽馬近似也是本章的重點內(nèi)容。 ? 當然，對重點內(nèi)容可以進行引申，譬如當索賠次數(shù)分布為負二項分布、幾何分布、超幾何分布、二項分布等；更簡單的還有二點分布，這時聚合風險模型與個別風險模型有相通之處。當然，個別索賠額的分布形式更加多樣，特別是當個別索賠額隨機變量的取值僅為正整數(shù)值時，是本章的難點。 ? 下面看幾個例子，以便讓讀者有一些感性認識。 ? 例 1 一組一年期的定期壽險組合，每份保單的保險金額都相同為 B個單位元，索賠次數(shù) N服從泊松分布，參數(shù)為 λ ，以下陳述中哪一項是不正確的？ ? A、 E ( S )=E ( N )?B=λ B ? B、 Var ( S )= Var ( N )?B2 ? C、 S的可能取值為 0， B， 2B， … ? D、 E ( X )=B , Var( X )= B2 ? E、 P(S≤ Bx)=P(N≤ x) ? 解 由聚合風險模型有： ? E ( S )=E ( N )E（ X） =λ ? B ? 所以 A正確。 ? Var ( S )= E2（ X） Var ( N )+E（ N） ? Var ( X)= B2 ? λ ? 所以 B正確。 ? 由于每次理賠額均為常數(shù) B，所以在保險期內(nèi)索賠總額僅取B的倍數(shù)，所以 C正確。 ? 依題意有： P（ X=B） =1 ? 所以 E（ X） =BM， Var(X)=0 ? 所以 D錯誤。 ? 因為 S=BN ? 所以 P（ S≤ BX） =P（ BN≤ BX） =P（ N≤ X） ? 所以 E正確。 ? 所以選 D。 ? 例 2 保險人承保了保險金額為 1萬元的一年定期意外險保險單1000份，假設投保人出險的概率是獨立的，每個被保險人索賠的概率為 ，求索賠總額超過 12021元的概率。 10001000100010 00 1 9