【文章內(nèi)容簡介】 200 110 — 120 30 70 合 計 165 400 x x m ∑m ∑ = 平均計劃完成程度 = 400 394 = % 例 題 一 組中值 m (%) x x 85 59 95 84 105 190 115 61 — 394 m 說明：該工業(yè)局實際比計劃多完成 6萬元，超額 % 完成產(chǎn)值計劃任務(wù)。 計劃 產(chǎn)值 某車間各班組工人勞動生產(chǎn)率和實際產(chǎn)量資料如下： 班組 勞動生產(chǎn)率 實際產(chǎn)量 (件 工時 ) (件 ) 一 10 1000 二 12 2400 三 15 4500 四 20 6000 五 30 6000 合計 — 19900 例 題 二 要求：計算五個班組工人的平均勞動生產(chǎn)率。 x m m x 100 200 300 300 200 1100 解：平均勞動生產(chǎn)率為： )/(18110019900 工時件?????xmmx（總工時） 價格（元） 合計 銷售量（斤） 3 4 5 12 543???????????iiiffxx? ? ??算術(shù)平均 求某種商品三種零售價格的平均價格 調(diào)和平均 1011011011010101 ???????????iiiHmxmx 30 ??價格（元） 合計 銷售額（元） 10 10 10 30 返回 算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的區(qū)別 算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)并無本質(zhì)區(qū)別，只是由于掌握現(xiàn)象總體的資料不同而采用不同的算法。在實際中，往往由于缺乏總體單位數(shù)的資料而不能直接計算算術(shù)平均數(shù)，故需用調(diào)和平均法來求得平均數(shù)。調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的一種變形 四、幾何平均數(shù) ? 幾何平均數(shù)是用 n個變量相乘開 n次方的算術(shù)根來計算的平均數(shù)。 ? 含義：是分布數(shù)列中 n個變量值連乘積的 n次方根。用大寫字母 G表示。幾何平均數(shù)常用來計算平均比率和平均速度。 ? 計算方法：： ? ? nn ng xxxxx ???????? 21???????? ?????? f ffff fnffg xxxxx n n ?21 21 21? [例 ] 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過三道工序，第一道工序的產(chǎn)品合格率是 92%，第二道工序的產(chǎn)品合格率是 95%，第三道工序的產(chǎn)品合格率是 90%，要求計算該產(chǎn)品三道工序的平均合格率。 ? 顯然對這樣的問題不能用算術(shù)平均的辦法來計算，因為假如該產(chǎn)品投入 100只，經(jīng)過第一道工序后僅有 92只進入第二道工序（ 100 92%=92只），類推可知，最后成品的合格率只有 92% 95% 90%=%，如將各工序的產(chǎn)品合格率視為變量 x（各單位標志值），最后成品的合格率即為標志總量，它是變量 x的連乘積。故要計算三道工序的產(chǎn)品平均合格率，只能用幾何平均數(shù)的公式計算，即： %%90%95%923 ????? ng xx ?? 例 ： 假定某地儲蓄年利率（按復(fù)利計算）：5%持續(xù) ， 3%持續(xù) ， %持續(xù) 1年。請問此 5年內(nèi)該地平均儲蓄年利率。 %%%5 ??????? ??G率解：該地平均儲蓄年利應(yīng)注意的問題： ? 變量數(shù)列中任何一個變量值不能為 0，一個為 0，則幾何平均數(shù)為 0。 ? 用環(huán)比指數(shù)計算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。 ? 幾何平均法主要用于動態(tài)平均數(shù)的計算。 五、 眾 數(shù) 眾數(shù)是現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標志值。 它反映了現(xiàn)象的一種集中趨勢 眾 數(shù) 的 確 定 方 法 （ 1）由單項數(shù)列確定眾數(shù) 數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值 就是眾數(shù)。 （ 2）由組距數(shù)列確定眾數(shù) 步驟 ：① 找出眾數(shù)所在的組 ② 根據(jù)公式計算眾數(shù) 公式： = + mo 下限 +組距 眾數(shù)組次數(shù) — 眾數(shù)組前一組次數(shù) 眾數(shù)組與前一 組次數(shù)之差 眾數(shù)組與后一 組次數(shù)之差 眾數(shù)： 指總體單位中，標志值出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值。如下圖 ： ? 單項式數(shù)列和組距式數(shù)列的眾數(shù)計算方法不同。 （一）單項式數(shù)列的眾數(shù)確定： 統(tǒng)計分組以后找出出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值即可。 ? 某村農(nóng)民按家庭兒童人數(shù)分組 家庭按兒童數(shù)分組 （個 /戶） 家庭數(shù)（戶） 0 1 2 3 4 20 60 105 90 40 合 計 360 ?在這個 例子中，眾數(shù)就是兩個兒童。 ? 出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的那個變量值即為眾數(shù)。 例：佳美超市 2022年 3月各種包裝的味精銷售情況： 按包裝分組（克） 銷售量（袋） 10 25 50 75 100 500 1000 30 52 357 146 43 17 2 眾數(shù)為 50克 （二）組距式數(shù)列眾數(shù)的確定： 先確定眾數(shù)所在的組（標志值出現(xiàn)最多的組），然后計算以求得近似的眾數(shù)值。 或為： 式中： M0 眾數(shù)； L眾數(shù)組的下限； d1 眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差； d2 眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差； i眾數(shù)組的組距 。 U眾數(shù)所在組的上限 （二）組距式數(shù)列眾數(shù)的確定： 先確定眾數(shù)所在的組（標志值出現(xiàn)最多的組），然后計算以求得近似的眾數(shù)值。 下限公式： iLM o ???? ???211 L：眾數(shù)組的下限 Δ1 ：眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差 Δ2 ：眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差 I：眾數(shù)組的組距 上限 公式： iUM o ???? ???212? 某地家庭收入的組距資料： 農(nóng)民家庭按年人均純收入分組（元） 農(nóng)民家庭數(shù)（戶） 1000~1200 1200~1400 1400~1600 1600~1800 1800~2022 2022~2200 2200~2400 2400~2600 240 480 1050 600 270 210 120 30 合 計 3000 iL dd dM ????2110例 現(xiàn)檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，得到資料如下表所示： 耐用時間 產(chǎn)品個數(shù)（個） 600以下 84 600800 161 8001000 244 10001200 157 12001400 36 1400以上 18 合計 700 101211283800 200 897 .6583 8787100 0 200 897 .6583 87oM L iM U i?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?＝ ＝ ＝ （ 小 時 ）或 者 ：＝ ＝ （ 小 時 ）? 眾數(shù)位于第三組 ? L=800 U=1000 i=1000800=200 ? ＝ 244161＝ 83 ＝ 244157＝ 87 1? 2?也可以作圖求解眾數(shù) 0501001502002503006 0 0 以下 600800 8001000 10001200 12001400 1 4 0 0 以上耐用時間產(chǎn)品個數(shù)M0= 方法 :即先畫相鄰三組次數(shù)分布直方圖 ,然后連接相鄰兩組次數(shù)差的 對角線 ,再以對角線的交點向 x軸引一條垂線 ,它與 X軸的交點即為眾數(shù) . 例 2022年某地大學(xué)生消費支出調(diào)查資料 月消費額 組中值（元） 調(diào)查人數(shù)（人） 較小制累計 較小制累計 300以下 300~400 400~500 500~600 600~700 700以上 250 350 450 550 650 750 80 180 430 220 70 20 80 260 690 910 980 1000 1000 920 740 310 90 20 合 計 —— 1000 —— —— ? ? ? ? ? ? 180430400 ????? ???oM? ? ? ? ? ? 220430500 ????? ???oM下限公式： 上限公式： ? 眾數(shù)的應(yīng)用特點 ? (1)眾數(shù)不受極端數(shù)值和開口組的影響，而且計算方便。 ? (2)眾數(shù)的確定適用于總體單位數(shù)較多，并有明顯的集中趨勢。 ? (3)有時分布數(shù)列中會出現(xiàn)雙眾數(shù)和多眾數(shù)，難以反映總體的一般水平。 ? (4)由于眾數(shù)的計算并不涉及每一個變量值，故其對變量值的變化反映不靈敏。 眾數(shù)可能不存在。 將總體中各單位的標志值按大小順序排列， 處于數(shù)列中點位置的標志值就是中位數(shù)。 中 位 數(shù) 的 計 算 方 法 （ 1）根據(jù)未分組資 料計算中位數(shù) 步驟： ①將資料按大小順序排列 ② 計算中位數(shù)的位次： + 1 2 n ③ 確定中位數(shù) （ 2）根 據(jù) 單 項 數(shù) 列計算中位數(shù) 步驟： ①計算數(shù)列的中間位置點 ： f + 1 2 ∑ ② 計算累計次數(shù)找出中位數(shù)所在的組 ③ 確定中位數(shù) 六、 中 位 數(shù) 中位數(shù)（ Me）： 把總體各單位的標志值按大小順序排列后，處于中點位次的標志值就是中位數(shù)。如： 不分組數(shù)列和分組數(shù)列中位數(shù)的求法不同 ? （ 1）未分組數(shù)列的中位數(shù)： 把總體各單位的標志值從小到大順序排列， 若數(shù)列有奇數(shù)項，中位數(shù)就是數(shù)列中間位次上的那個標志值； 若數(shù)列有偶數(shù)項，中位數(shù)就是數(shù)列中間兩個位次上標志值的平均數(shù) 。 如：某班組９個工人生產(chǎn)的某種零件，按日產(chǎn)量順序排列如下： 16， 17， 18， 20， 20， 22 ， 23， 23， 25 則中位數(shù)是第 5項