[理學(xué)]第二節(jié)、1二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算(編輯修改稿)
2025-01-04 01:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 y 2xy?2yx??? ?Dyxyx dd)( 2 ? ? ?? 10 22 d)(d xx yyxxxxxxxx d)](21)([ 4210 2 ???? ? .14033?兩曲線的交點(diǎn) 例 4 例 5. 關(guān)于分段落函數(shù)在 D上的積分 . ?? ?Ddxy ?||求其中 D： 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 解： 積分區(qū)域如圖 記 f (x, y) = | y – x | = y–x, 當(dāng) y ? x時(shí) , x–y, 當(dāng) y x時(shí) , 且區(qū)域 D1: y ? x和 D2: y x分處在直線 y=x的上，下方 . 故，原式 = ???? ???21)()(DDdyxdxy ??y x 0 1 1 D D2 y = x D1 ???? ???? xx dyyxdxdyxydx 010110 )()(?? ????10021012 )21()21( dxyxydxxyy xx?? ???? 10 210 2 21)2121( dxxdxxx 31?注： 分段落函數(shù)的積分要分塊 (區(qū)域 )來積 . 另外，帶絕對值的函數(shù)是分段函數(shù)。 y x 0 D2 1 1 y = x D1 D .d),(d 1010 的次序改變積分 ?? ? x yyxfx.10,10 ????? xxy積分區(qū)域?yàn)?? 10 d y原式xy ?? 1改變下列各題的積分次序 例 1 解 .10,10 ?????? yyxy 型積分區(qū)域?yàn)?d),(10? ? y xyxf.d),(dd),(d202120102的次序改變積分???????xxxyyxfxyyxfx積分區(qū)域如圖 .d),(d 2 1110 2?? ? ??? y y xyxfy原式xy ??222 xxy ??例 2 解 .10,211 2????????yyxyy 型積分區(qū)域?yàn)?)0(d),(d 2220 2 的次序改變積分 ??? ? ayyxfx ax xaxaaxy 2?原式 ? ? ??? a a yaa xyxfy0 2 22 d),(d .d),(d2 22 2? ?? aa aay xyxfy22 xaxy ?? 22 yaax ????a2aa2a? ? ??? a yaaay xyxfy02222 d),(d例 3 解 .)1,0(),1,1(),0,0(,dde22頂點(diǎn)的三角形區(qū)域?yàn)槭且云渲星?DyxxDy?? ????? ?? ? y yDy xxyyxx02102 deddde 22yyy d3e1032? ?? ? 2102d6e 2 yyy? ?? ?,de 2 無法用初等函數(shù)表示注意到 ? ? yy.序所以積分時(shí)必須考慮次例 4 解 ).e21(61 ??例 .s i n110 ?? ydxx xdy解： 由于 ?1 s iny dxx x是“積不出”的，怎么辦？ 要改換積分次序 . 先畫積分區(qū)域 D的圖形 . 由積分表達(dá)式知， D： y ? x ? 1, 0 ? y ? 1 畫曲線 x=y 和 x=1，直線 y=0, y=1. 如圖： 故 原式 = ??Ddx dyx xs in??? x dyx xdx 010 s i n ? ?? 10 s i n x dxx x? ?? 10 s in dxx 1c o s1c o s 10 ???? xy x 0 D y = x .dedded 121
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