【文章內(nèi)容簡介】 ?Ao 22?r, dzddrrdv ??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ?????d x d y d zz ???? dzddrrz ????? 42020 2 r dzzrdrd? ??? ?????? ?? 204220 22 drzrdr? ??? ?? 20 520 )( 1 6 21 drrrd? ?? ?????? ?? ? ?202 0 6261821 drr2 0 62618221?????? ???? rr? .364 ??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 例 7 求 ????? zdxdydzI ，其中 ? 是球面 4222 ??? zyx 與拋物面 zyx 322 ?? 所圍的立體 . 解 ????????zyxzyx3422222求交線： x yzo將 ? 向 xoy 面投影，得 .3 : 22 ?? yxD???????.1,322zyxo A3?r或 .30 ,20 :???????rD??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ??????????? dzd r drzd x d y d zzI ? .413 ??x yzo?? ? ? ?? 232 420 30 rr z d zrdrd? ?.43 22 rzr ???即 過 (r, ? )∈ D 做平行于 z 軸 的直線，得 .43,30,20 :22?????????????rzrr??? ),( ?r????????.,s in,c o szzryrx??, dzddrrdv ??或 .30,20 :???????rD??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 例 8 計算三重積分 , )( 22????? dvyx 其中 ? 是由曲 所圍成。與平面面 )0( 22 ???? HHzyxz解 將 ? 向 xoy 面投影，得 222 : HyxD ??或 .0 ,20 :???????HrD??xyzoHxyo HHH?H?.Hzr ??過 (r, ? )∈ D 做平行于 z 軸 的直線，得 ? ),( ?rYunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ,0,20 :????????????HzrHr??即 或 .0 ,20 : ??? ?? ?? HrD ??.Hzr ??過 (r, ? )∈ D 做平行于 z 軸 的直線，得 xyo HHH?H?Hxyzo ? ),( ?r??????dvyx )( 22 . 2????? dzddrrr ????? HrH dzrdrd 3020 ? ?????????.,s in,c o szzryrx??, dzddrrdv ??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ? ???? H Hr drzrd 0 320 ? ?? ?? H drrHr0 43 )(2 ?.10 5H?? ,0,20 :????????????HzrHr??即 ??????dvyx )( 22 . 2????? dzddrrr ????? HrH dzrdrd 3020 ? ?????????.,s in,c o szzryrx??, dzddrrdv ??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ( , , ) M x y z MOMO M zzxO P P M xo yM? ? ? ???? ? ?設(shè) 為 空 間 內(nèi) 一 點 ， 則 點 可 用 三 個 有 次序 的 數(shù) ， ， 來 確 定 ， 其 中 為 原 點 與 點 間的 距 離 ， 為 有 向 線 段 與 軸 正 向 所 夾 的 角 ，為 從 正 軸 來 看 自 軸 按 逆 時 針 方 向 轉(zhuǎn) 到 有 向 線 段的 角 ， 這 里 為 點 在 面 上 的 投 影 ， 這樣 的 三 個 數(shù) ， ， 就 叫 做 點 的 球 面 坐 標 ．0,?? ? ? ?.20 ?? ??,0 ?? ??規(guī)定： xyzo),( zyxMP?????2. 球面坐標 Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ? 為 常 數(shù)為常數(shù)?為常數(shù)?如圖，三坐標面分別為 圓錐面； 球 面； 半平面． si n c os ,si n si n ,c os .xyz? ? ?? ? ????????? ??球面坐標與直角坐標的關(guān)系為 Pxyzo),( zyxM?r???zyxAxyzor??Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ( , , )( , , )x y zD x y z x y zDx y z???? ? ? ? ? ????? ? ????? ? ?????? ? ????由 sin c o s sin sin c o sc o s c o s c o s sin sinsin sin sin c o s 0? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 si n si n c ossi n si n c os si n si nsi n c os c os si n c os c os c os si n? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ??????2 2 2 2sin sin sin c os? ? ? ? ? ??? 2 sin???所以 ( , , ) d d dVf x y z x y z???239。( s in c o s , s in s in , c o s ) s in d d dVf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 ( , , )Vf x y z d x d y d z???2 39。( s in c o s , s in s in , c o s ) s in .Vf d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???球面坐標系中的體積元素為 2 s i n ,d v d d d? ? ? ? ??如圖， ?drxyzodr??dsinr?rd?d???d?sinr再根據(jù)再 V’ 中 ρ， ? ， ? 的關(guān)系，化為三次積分。 一般，先對 ρ積分，再對 ? ，最后對 ? 積分。 Yunnan University 167。 2. 三重積分的計算 例 9 用球面坐標計算 . 2????dvz 其中 .1 : 222 ???? zyx解 畫 ? 圖。 確定 r， ? ， ? 的上下限。 (1) 將 ? 向 xoy 面投影，得 . 20 ?? ??(2) 任取一 ],2 ,0[ ?? ? 過 z 軸作半平面，得 .0 ?? ??(3) 在半平面上，任取一 ], ,0[ ?? ? 過原點作 射線，得 .10 ?? rxyzoYunnan University 167。 2. 三重積分的計算 xyzo(3) 在半平面上，任取一 ], ,0[ ?? ? 過原點作 射線，得 .10 ?? r即