[理學]概率統(tǒng)計3隨機向量(編輯修改稿)
2025-01-04 00:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 X和 Ｙ 自身的分布律分別稱為 (X,Y)關于 X和 Y的邊緣分布律 . XY1x2xnx...1y 2y ... my...11p 12p 1mp21p 22p 2mp2np nmp1np..................... ... ... ...... ... ...1 jjp?2 jjp?njjp?1iip? 2iip? imip?......... ...()jP Y y?()iP X x?1上一頁 下一頁 返回 例 2. 袋 內(nèi) 裝 2個 白球 3個 黑球 ,采用放回摸球和不放回摸球兩種 方式 .定 義 下列 隨 機 變 量 1,0,X ?? ??第 一 次 摸 出 白 球第 一 次 摸 出 黑 球1,Y?? ??第 二 次 摸 出 白 球0, 第 二 次 摸 出 黑 球求 兩種 摸球方式下 ,(X,Y)的 聯(lián) 合分布及 邊緣 分布 . 解 : (X,Y)的分布律及 邊際 分布律如下表 : XY 11100()jP Y y?()iP X x?3355?3255?2355?2255?35252535X Y 0101()jP Y y?()iP X x?3525135253254?2354?3254?2154?放回摸球 不放回摸球 上一頁 下一頁 返回 該 例 說 明 :聯(lián) 合分布可唯一確定 邊緣 分布 ,反之 ,邊緣 分布 ,一般不能確定 聯(lián) 合分布 . 二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 設 (X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，具有概率密度 f(x,y)則 從而知， X為連續(xù)型隨機變量且概率密度為 同理， Y也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 上一頁 下一頁 返回 例 3 設隨機變量 X和 Y具有聯(lián)合概率密度 f（ x， y） = ??? ??.,0.,6 2其他xyx求邊緣概率密度 fX（ x）， fY（ y） . fX（ x） = ????? ????? ?????? .,0,10),(66),(22其他xxxxxdyyyxf d解 fY（ y） = ? ???? ????? ?????dd.,0,10),(66),(其他yyyyyxxyxf上一頁 下一頁 返回 例 4. 2 1 2( , )X Y N 221設 ( , , , , ),? ? ? ? ?XY求 和 的 邊 緣密 度 函 數(shù) .解 : ( ) ( , )Xf x f x y d y????? ?222112()11 e x p2 ( 1 )21x ???? ? ? ??????? ??? ? ??? ? ??122121 2 22 ( ) ( ) ( )x y y dy? ? ? ?? ? ???? ? ? ??? ???? ?22112,xy uv???????? 2令21121? ? ???? ?2221e x p 22 ( 1 ) u u v v d v????????? ? ?????上一頁 下一頁 返回 ? ? ? ?2222111e xp e xp2 2( 1 )21u v u dv??? ? ?????? ??? ? ? ?????? ?? ?211 e x p22u??? ??? ? ???? ??22 2 21 ( )e xp2 1 2( 1 )vudv?? ? ??????? ???????? ?????211 e x p22u??????????21211()1 e x p22x ?????????????同理 , 22222()1( ) e x p22Yyfy ?????? ???????上一頁 下一頁 返回 這說 明 221 1 2 2( , ) , ( , ) .X N Y N? ? ? ?注 :X與 Y的邊緣分布 ,一般不能確定聯(lián)合分布 . 分布的 兩個邊緣 分布都是一 維 正 態(tài) 分布 . 即 ,二 維 正 態(tài) 第三節(jié) 條件分布 定義 1: 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 例 1 已知（ X,Y）的聯(lián)合分布律如下表所示 X Y 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16 1 2 3 1 2 3 4 求 :（ 1） 在 Y=1的條件下， X的條件分布律； （ 2） 在 X=2的條件下， Y的條件分布律 . 上一頁 下一頁 返回 解 (1) 由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律 . X Y 1/4 1/4 1/4 1/4 P{X=xi} 25/48 13/48 10/48 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16 1 2 3 P{Y=yj} 1 2 3 4 于是 上一頁 下一頁 返回 P{X=1｜ Y=1}= =12/25； 4825/41P{X=2｜ Y=1}= =6/25； 4825/81P{X=3｜ Y=1}= =4/25； 4825/121P{X=4｜ Y=1}= =3/25. 4825/161上一頁 下一頁 返回 即，在 Y=1的條件下 X的條件分布律為 X 1 2 3 4 P 12/25 6/25 4/25 3/25 (2) 同理可求得在 X=2的條件下 Y的條件分布律為 Y 1 2 3 P 1/2 1/2 0 上一頁 下一頁 返回 例 2： 一射手進行射擊 ,每次射擊擊中目標的概率均為p(0p1)且假設各次擊中目標與否相互獨立 ,射擊到擊中目標兩次為止 .記 X表示首次擊中目標所需要的射擊次數(shù) , Y表示總共進行的射擊次數(shù) .試求 (X,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律 . 解 : 由題意 ,{X=i}表示首次擊中目標射擊了 i次 ,{Y=j}表示第二次擊中目標共射擊了 j 次 ,因而 ij, {X=i, Y=j}表示第 i次和第 j次擊中目標而其余 j2次均未擊中目標 .于是 (X,Y)的聯(lián)合分布律為： 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 L L , 2 , 1 } | { , , 2 , 1 1 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i i j pq pq q p i X j Y P Y i
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