【正文】 （ ?∞＜ x， y＜ +∞），所以 P{X＜ Y}= .21 22222 yxyxyxddeπ???????令 x=rcosθ, y=rsinθ， P{X＜ Y}= .2121 2224540 2????? ? ?? ? ddeπππ rrr則 n維隨機變量 設(shè) E是一個隨機試驗 ,它的樣本空間是 ?={ω} , 設(shè)隨機變量 是定義在同一樣本空間 ? 上的 n個隨機變量，則稱向量 為 n維隨機向量 或 n維隨機變量 .簡記為 設(shè) 是 n維隨機變量，對于任意實數(shù) ,稱 n元函數(shù) 為 n維隨機變量 的 聯(lián)合分布函數(shù) 。 第一節(jié) 二維隨機向量及其分布 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 從幾何圖形上看 , 二維 隨機變量可看作是平面上的隨機點 (X,Y). 它的分布 函數(shù) F(x,y)表示隨機點 (X,Y) 落入以 (x,y)為頂點的無窮矩 形區(qū)域的概率 . 二維隨機變量 (X,Y)的分布函數(shù) F(x,y)的性質(zhì) : (1).單調(diào)性 : F(x,y)是 x的不減函數(shù) ,同時也是 y的不減函數(shù) . 事實上 , 固定 y,當(dāng) 12 ,xx? 時 有? ?12, ( , )X x Y y X x Y y? ? ? ? ?? ? ? ?12,F x y F x y?即. xyO( , )XY( , )xy? ?12, ( , )P X x Y y P X x Y y? ? ? ? ? ?y2x1xxyO2( , )xy1( , )xy上一頁 下一頁 返回 (2).有界性 : ? ?0 , 1F x y??? ? ? ?, l im , 1xyF F x y? ? ???? ? ? ? ? ?→? ? ? ?, l im , 0xyF F x y? ? ??? ? ? ? ? ?→ ? ? ? ?, l im , 0xF y F x y? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, l im , 0yF x F x y?? ? ? ?→ (3).右連續(xù)性 : ? ?,F x y x y對 或 都 是 右 連 續(xù) 的 即? ? ? ?0 , , ,F x y F x y??? ? ? ?, 0 ,F x y F x y??Oyx( , )xy． ( , )XY上一頁 下一頁 返回 (4).對任意的 ab,cd,有 ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , 0F b d F a d F b c F a c? ? ? ?事實上 : ? ? ? ? ? ? ? ?, , , ,F b d F a d F b c F a c? ? ?? ?,P a X b c Y d? ? ? ? ?0?注 : 一個二元函數(shù) F(x,y)若同 時具有上述四條性質(zhì) , 它 必為某一二維隨機變量的 分布函數(shù) . xydca bo( , )ac( , )ad( , )bc( , )bd上一頁 下一頁 返回 二維離散型隨機變量 定義 3：若二維隨機變量 (X,Y)的所有可能取值是有限對或無限可列多對 ,則稱 (X,Y) 為 二維離散型隨機變量 。 P(Y≤y) * 則稱 X與 Y相互獨立 . * 式即 為 : ,X Y x y??， 與 相 互 獨 立 對 實 數(shù)因 此 ， 有( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y??( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y??第四節(jié) 隨機變量的獨立性 上一頁 下一頁 返回 (1) X Y X?在 離 散 場 合 ， 與 相 互 獨 立 對 的 任 一ijx Y y可 能 取 值 ， 的 任 一 可 能 取 值 ，都 有 ( , )ijP X x Y y?? ( ) ( )ijP X x P Y y? ? ? ?(2) ,X Y x y??在 連 續(xù) 場 合 ， 與 相 互 獨 立 對 實 數(shù) ，( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y有 ?n類 似 地 可 定 義 個 隨 機 變 量 的 相 互 獨 立例 1. 一整數(shù) X隨機地在 1,2,3三個整數(shù)中取一個值 ,另一個整數(shù) Y隨機地在 1~X中取一個值 ,求得 (X,Y)的聯(lián)合分布律及邊際分布律如下表 : 上一頁 下一頁 返回 XY1122331()jP Y y?()iP X x?1/3 1/31/31/31/6 1/61/9 1/91/91/911/18 5/180 00( 1 , 1 ) 1 / 3 ,P X Y? ? ?( 1 ) 1 / 3 ,PX ?? ( 1 ) 11 / 18PY ??顯 然 ( 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 )P X Y P X P Y? ? ? ? ?.XY? 與 不 獨 立上一頁 下一頁 返回 例 2 設(shè)（ X， Y）在圓域 x2+y2≤1上服從均勻分布，問 X 和 Y是否相互獨立？ 解 （ X， Y）的聯(lián)合分布密度為 f（ x， y） = ????? ??.,0,1,1 22其他yx?由此可得 fX（ x） = 22 1 , 1 1 ,( , )0 , .xxf x y dy π?????? ? ? ??? ????其 他fY（ y） = ????? ??????????.,0,11,12),(2其他yyxyxfπd在圓域 x2+y2≤1上， f（ x， y） ≠fX(x)fY(y), 故 X和 Y不相互獨立 . 上一頁 下一頁 返回 例 3. 設(shè) X和 Y分別表示兩個元件的壽命（單位：小時）， 又設(shè) X與 Y相互獨立，且它們的概率密度分別為 fX（ x） = ??? ??.,0,0,其他xxe fY（ y） = ??? ??.,0,0,其他yye求 X和 Y的聯(lián)合概率密度 f（ x， y） . 解 由 X和 Y相互獨立可知 f（ x， y） =fX（ x） fY（ y） = ??? ????.,0,0,0,)(其他yxyxe 于是 上一頁 下一頁 返回 第五節(jié) 兩個隨機變量函數(shù)的分布 設(shè) (X,Y)是二 維隨 機 變 量 ,則 Z=g(X,Y)是一 維隨 機 變 量 ,本 節(jié)問題 :如何由 (X,Y)的分布 ,求出 Z=g(X,Y)的分布 . Y 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 例 1 設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 X?Y, X?Y ,XY及 X/Y的分布 . X 上一頁 下一頁 返回 解：先列出下表 P 0 1/3 1/3 1/3 (X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) X?Y 2 3 3 4 X?Y 0 ?1 1 0 XY 1 2 2 4 X/Y 1 1/2 2 1 于是 X+Y的分布律為 X+Y 2 3 4 P 0 2/3 1/3 上一頁 下一頁 返回 同理 XY的分布律為 X?Y ?1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 X/Y 1/2 1 2 P 1/3 1/3