[理學(xué)]第二章解析函數(shù)的積分(編輯修改稿)
2024-11-15 01:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 定理 若 f (z) 在單連通區(qū)域 D內(nèi)解析 , 且 G39。(z)= f (z) , 則有 1010( ) ( ) ( )zzf z d z G z G z???故當(dāng) 時(shí) , 有 1( ) [ ( ) ( ) ]zzzF f z f f z dzz?????? ? ??? ?||z ???39。( ) ( )F z f z?這就證明了 F(z) 解析 , 且 039。( ) lim ( )zFF z f zz??????因此 , F(z)的導(dǎo)數(shù)為： 11 ||||zzzz? ? ?? ? ? ? ???江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 由定理 , 在圍線 上 定理 (復(fù)連通區(qū)域柯西積分定理 ) 設(shè) f (z) 是復(fù)連通區(qū)域 內(nèi)的 解析 , 的邊界圍線 c2含于圍線 c1的內(nèi)部 , 則： 12( ) ( )ccf z d z f z d z???證明： 作割線 a b連接 c1 和 c2 , 則 變?yōu)閱芜B通區(qū)域 . 12( ) ( ) 0ccf z d z f z d z????12( ) ( ) 0c c a b c b af z d z f z d z?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ab與 ba是反向曲線 , 因此 DD12c c a b c b a?? ? ? ?D江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 其中復(fù)圍線 , 為 的正向邊界 . 一般的 , 若圍線 c2, c3, …, 互不相交 , 互不包含 , 且都在圍線 c1的內(nèi)部 .若 f (z) 在由 c1, c2, c3, …, 所圍閉復(fù)連通區(qū)域 上解析 , 則 D1 2( ) ( )kncc kf z d z f z d z?? ???12 nc c c??? ? ? ?( ) 0f z d z? ??D上式即為： 江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 例 試證明 : 若點(diǎn) α在圍線 c的內(nèi)部 , 則有 2 , 1()0 , 1ncinI z d zn?????? ? ? ????? ， 且 為 整 數(shù)證明 : 以點(diǎn) α為中心作一半徑為 R 的圓 c39。 包含于 c 的內(nèi)部 , 由定理 , 即復(fù)連通區(qū)域的柯西積分定理 , 知 39。( ) ( )nnccI z d z z d z??? ? ? ???將圓周 c39。 的方程 代入積分中： R e ( 0 2 )iz ?? ? ?? ? ? ?江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 0 2I i d i? ??????21 ( 1 )01 0( 1 )n i nI i R ein?????????當(dāng) n＝－ 1時(shí) , 當(dāng) n≠－ 1時(shí) , 證畢 ! 20( ) ( )n i n i n i n icI R e d R e R e i R e d?? ? ? ? ?????1 ( 1 )0n i nR i e d? ? ????? ?證明思路：復(fù)連通區(qū)域柯西積分定理定理 + 復(fù)積分的一般計(jì)算公式 江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 167。 柯西積分公式 定理 (柯西積分公式 ) 設(shè) f (z) 在曲線 c 所圍 的閉區(qū)域 內(nèi)解析 , α是 D 的任一內(nèi)點(diǎn) , 則 D1 ( )()2 cfzf d ziz? ??? ??證明： 由例 11 12 c dziz?? ???() 2 ( )cf d z i fz? ??? ???為復(fù)常數(shù) 因此，只需證明： ()f ?作差： ( ) ( ) ( )2 ( )ccf z f z fd z i f d zzz????????????( ) ( ) 0cf z f dzz??? ???江蘇師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院 蔡俊 制作 記圓 c39。 半徑為 ρ。 無(wú)論 ρ取得如何小 , 上式總成立 ! 取 ，則： ( ) ( ) ( ) ( )cf z f f z fI d z d zzz??????????39。c() ???39。39。( ) ( ) | ( ) ( ) |||ccf z f f z fd z d szz?????? ???對(duì)包含于 c 內(nèi)的圓 c39。 , ()式總成立； 22? ? ? ? ????f (z)在 D內(nèi)連續(xù) 時(shí) , 有 0,??? ||z????| ( ) ( ) |f f z????0,???以 ? 為圓心 , 作圓 c39。
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