[理學(xué)]概率論與數(shù)率統(tǒng)計(jì)第4章(編輯修改稿)
2024-11-15 00:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2211( ) ( ) ( ) ( ) 1XD Y D D X D X? ?? ? ??? ? ? ? ?例 假定 n 個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量 X1 ,… ,Xn 具有相同的期望 ? 和方差 ?2 ，定義 Sn = X1 +… +Xn 計(jì)算 Sn的期望、方差并且把 Sn 中心標(biāo)準(zhǔn)化。 解 . 根據(jù)期望與方差的性質(zhì)， ESn = n? ， DSn = n?2 因此 Sn 的中心標(biāo)準(zhǔn)化為 nnSnYn???? □ “中心標(biāo)準(zhǔn)化” 的目的是通過(guò)線性變換 把一個(gè)隨機(jī)變量的期望轉(zhuǎn)化為 0 ，方差 轉(zhuǎn)化為 1 。 1. 兩點(diǎn)分布 都與這些分布的參數(shù)有關(guān) X 只取 0， 1 兩個(gè)可能值，分布律為： xk 0 1 p + q = 1 pk q p 0 ＜ p ＜ 1 EX = p ， EX 2= p， DX= pp2= pq 2. 二項(xiàng)分布 X~B(n,p) 的期望與方差 EX = np， DX = npq 如果按照定義，則需要計(jì)算 EX = ∑kn=0 [ k Cnk pk qn – k] DX = ∑kn=0 [ (k EX)2 Cnk pk qn – k] 注意到二項(xiàng)分布可以分解成兩點(diǎn)分布的和： 由二項(xiàng)分布的定義知，如果 X ~ B (n,p) ， 則 X表示 n 重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，構(gòu)造 隨機(jī)變量 則 X = X1 + X2 +…+ Xn ， ????，否則發(fā)生次試驗(yàn)時(shí)事件第0,1 AiX i n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，隨機(jī)事件 A 平均 將要發(fā)生 np 次；或者是在有放回的抽樣中， 取出的 n 件產(chǎn)品里平均要包含 np 件次品。 這里每個(gè) Xi 獨(dú)立同分布于參數(shù)為 p 的兩點(diǎn)分 布。 顯然有 EXi = p， DXi = pq (q = 1 p) 因此二項(xiàng)分布的期望與方差是 EX = np ， DX = npq 。 3. 超幾何分布 無(wú)放回取出的 n 件產(chǎn)品里，平均 要包含有 nM/N 件次品。 從包含 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中無(wú)放回隨機(jī) 取出 n 件產(chǎn)品，其中次品數(shù) X 的分布律為： nM nM M N n N N N N 1 EX = — ， DX = — ( 1 — )( —— ) k n kM N Mk nNCCp k n MC , 0 m in ( , )??? ? ?4. 幾何分布 X 可能取值是一切正整數(shù)： 1 ， 2 ， … ； 分布律為： P { X = k } = pqk1 , k ≥1 。 這里參數(shù) 0 ＜ p ＜ 1 , q = 1 p 。 11111( ) ( )1kkkkkkEX kpq p kqq p q pq1 =p??????????????????無(wú)窮級(jí)數(shù)求和技巧，將待求級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果一個(gè)隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的 都是 p，那么平均需要做 1/p 次隨機(jī)試驗(yàn)， 這個(gè)事件 A 才會(huì)發(fā)生。 2 2 111111132()( 1 )()2( 1 )2kkkkkkkkE X k pq p k k q p kq 1 pq qp1 = pqqpq1 =pp????????????? ? ????????????2222q 1 1 qDXp p p p? ? ? ?5. 泊松分布 X 可能取值是所有非負(fù)整數(shù) 0， 1， … ； 分布律為： P { X = k } = — e ? ， k ≥ 0 這里泊松分布的參數(shù) ? ＞ 0 。 ? k k ! 01111!!( 1 ) ! ( 1 ) !kkkkkkkkeeE X k kkkee kk????????????????? ? ???????? ? ??????? 到達(dá)的乘客 (或顧客 )平均每一批有 ? 人， 單位時(shí)間里的電話呼叫數(shù)平均有 ? 次等等。 2 2 2011122112()!!( 1 )!!( 2 ) ! !kkkkkkkkkkkkeeE X k kkkee k k kkkee kkk ???????????????????????????? ? ???????? ? ????????????DX ??6. 均勻分布 X 取值的平均就是區(qū)間 (a,b) 的中點(diǎn) —— ， a ＜ x ＜ b f (x) = 0 ， 其它 1 b – a X 服從區(qū)間 (a,b) 上 的均勻分布， a+b (ba)2 2 12 EX = —— ， DX = —— 7. 指數(shù)分布 X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布， — e x/? ， x ＞ 0 f (x) = 0 ， 其它 1 ? EX = ? ， DX = ? 2 元件的平均壽命、地震平均間隔、機(jī)械 故障的平均間隔 (等待時(shí)間 )為 ? 。 00001( ) ( )|0xx x xE X x f x d x x e d x x d e x e e d x ?? ? ?????? ?????? ? ????? ? ? ? ????????2()DX ??2 2 202 2 20000021( ) ( )|0 2 22xx x xxxE X x f x d x x e d x x d e x e e d xx x e d x e d x ?? ? ????????? ?????? ? ????????? ? ? ? ?? ? ????????8. 正態(tài)分布 當(dāng) X ~ N (?,?2) 時(shí)，密度函數(shù)為 22()21( ) ,2xf x e x??????? ? ? ? ? ? ?EX =? ， DX= ?2 由第二章引理知 Z=(X ? )/? ~ N (0,1) 22222222221()21211|220 1 1zzzzE Z z e d z z de ze e dz ????? ???? ????????????
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