線性代數(shù)及應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-11-16 11:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 如何證明該結(jié)論 ？ 0220驏 247。231。 247。231。 247。231。 247。桫矩陣乘法 ：設(shè) 如果 ， 則稱(chēng) C是 A（ 左 ） 乘 B的 乘積 ， 記作： C=AB， 即 。 這里 即 C的第 i， j元 是矩陣 A的第 i行 與 B的第 j列 的對(duì)應(yīng)元的乘積之和 。 注： 從矩陣的乘法定義可見(jiàn)，必須滿足： A的列數(shù) =B的行數(shù)。 同理， 當(dāng) B的列數(shù) =A的行數(shù)時(shí)， BA才有意義 。 必須指出：矩陣乘法不滿足交換率。 矩陣運(yùn)算規(guī)則 定理 1 對(duì)任意的數(shù) α和 β， 以及任意矩陣 A， B， C， 有 （ 1） A+B=B+A 加法交換律 （ A+B） +C=A+(B+C) 加法結(jié)合律 （ 2） (αβ)A=α (βA)= β(α)A 數(shù)乘結(jié)合律 α(AB)= (αA)B=A(αB) （ 3） (AB)C=A(BC)=ABC 乘法結(jié)合律 (1—9) （ 4） (AT) T=A （ 5） (A+B) T=AT+BT， (αA)T=αAT， (AB)T =BTAT （ 1—10） （ 6） (A+B)C=AC+BC 分配律 A (B+ C) =AB+AC (α +β)A=αA+βA α(A+B)= αA+αB 上列各式出現(xiàn)的運(yùn)算皆可行的前提是：矩陣的維數(shù)滿足運(yùn)算要求。 證明矩陣乘法結(jié)合律： (AB)C=A(BC)=ABC 證：設(shè) 記 證明 DC=AG。 因?yàn)? ， ， 則 DC的第 i,j 元為： 得到 DC的第 i,j元等于 AG的第 i,j元。 A的 i 行乘以 B的 l 列 證明 (AB)T =BTAT 證： 即 。剩下的要證明它們的第 i, j元都對(duì)應(yīng)相等。設(shè) 即 (AB)T的第 i， j元是 AB的第 j,i元，即 A的第 j行與 B的第 i列 的乘積。 直接計(jì)算得到： BTAT的第 i, j元是 BT的第 i行與 AT的第 j列的乘積，即：A的第 j行與 B的第 i列 的乘積。所以， (AB)T =BTAT。 根據(jù)定理 1的運(yùn)算規(guī)則，矩陣乘法具備數(shù)與數(shù)相乘的大多數(shù)性質(zhì)，但不全是： 課后練習(xí) ?講義 p47 12（ 2， 3， 5， 6） 13， 14， 15， 16， 17； 定理 2 對(duì) m n矩陣 A， 有 對(duì)于適當(dāng)維的零矩陣 ， 總成立： A0=0， 0A=0。
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