線性代數(shù)及應(yīng)用(參考版)
2024-10-15 11:09本頁面
【正文】 請(qǐng)說明計(jì)算結(jié)果是數(shù)或矩陣？ 12 （ 5） ,（ 6） 請(qǐng)說明計(jì)算結(jié)果是標(biāo)量或矩陣？ 13， 14， 15， 16， 17 課后作業(yè) ?講義 p47 18， 19， 110， 111， 112， 113， 114； 115（ 1， 2） 116， 117， 118， 119， 120 。 注意 ： A的 n1個(gè)前主子矩陣非退化的條件是必需的，否則不可以三角分解。事實(shí)上 R=A1 可見只要將增廣矩陣中 A對(duì)應(yīng)的那一塊通過行初等變換化成單位陣 ， 對(duì)應(yīng) b的那一塊變成 Rb= A1 b， 即 A → I n b → Rb Rb就是方程組的唯一解。 在一般情況下，稱矩陣 [A | b ] 為方程的 增廣矩陣 。 因此 ， 為了求 A的逆陣 ， 可以對(duì)矩陣 [A | I n ]， 進(jìn)行一系列行初等變換 ， 使得 ， [A | I n ] → [I n | B] ， 行初等變換 那么 ， B就是 A的逆矩陣 。 定理 13告訴我們 ， A的逆陣可以表示成有限個(gè)行 （ 或列 ） 初等變換陣的乘積 。 即 ， A可逆 ? A=P1P2???Pn， Pi 是初等矩陣 。 這個(gè)定理告訴我們，為了說明 B是 A的逆矩陣，僅需驗(yàn)證 AB=I（或 BA=I）。 證：因?yàn)? B = RA (或 AC)，已知 R可逆， 當(dāng) A可逆時(shí) ，根據(jù)定理 6的結(jié)論，則 B可逆；反之亦然。 注意行標(biāo)和列標(biāo)的不同 通過直接驗(yàn)證來證明定理 7！ 定理 9 非退化矩陣經(jīng)過初等變換后仍為非退化矩陣，而退化矩陣經(jīng)過初等變換后仍為退化矩陣。 又記作： r i?r j （ c i?c j） ， 稱為第 1類行 （ 列 ） 初等變換； 2. 以一非零常數(shù)乘矩陣某一行（或列），用 r i (a)（或 c i (a)）表示初等變換： 以常數(shù) a（ ≠0）乘以矩陣的第 i行（列） 又記作： r i→ar i （ c i→ac i）， 稱為第 2類行（列）初等變換； 3. 將矩陣某行 (或列 )的數(shù)量倍加到另一行 , 用 r i j (k)（或 c i j (k)）表示初等變換： 以常數(shù) k乘以矩陣的第 i行 (列 )后加到矩陣的第 j行 (列 ) 又記作： r j→ r j + k r i （ c j→ c j + k c i）， 稱為第 3類行（列）初等變換。 167。 練習(xí) 12 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式： c o s s in c o s s ins in c o s s in c o sn nnnna a a aa a a a驏驏 鼢瓏??瓏 鼢瓏 鼢瓏桫桫并用線性變換的觀點(diǎn)解釋此結(jié)果。 （ 在第六章將會(huì)更詳細(xì)的討論這個(gè)問題 ） 例 12 （ 線性代數(shù)方程組 ） 對(duì)于由 n個(gè)變?cè)?、 m個(gè)方程組成的方程組： 可以用矩陣（乘積）方程表示之
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