[理學(xué)]35向量與矩陣的范數(shù)(編輯修改稿)
2024-11-10 17:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 等于 A的最大行之和 . (4)n = norm(A, 39。fro39。 ) 矩陣 A的 Frobenius范數(shù) . ???????????087654321A15/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 例 6. 計(jì)算矩陣 A的各種范數(shù) 1 2 3 42 3 4 1A=3 4 1 24 1 2 9????????n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)， n4=norm(A, 39。fro39。) 解： A=[1,2,3,4。2,3,4,1。3,4,1,2。4,1,2,9]。 n1=16， n2=， n3=16， n4= 16/35 計(jì)算方法 三 ⑤ ?矩陣范數(shù)的性質(zhì) ： （ 1）對(duì)任意 A∈ Rn n,有 ||A||≥0，當(dāng)且僅當(dāng) A=0時(shí)，||A||=0. （ 2） ||λA||=|λ|||A||（ λ為任意實(shí)數(shù)） （ 3）對(duì)于任意 A、 B ∈ Rn n ，恒有 ||A+B||?||A||+||B||. （ 4） 對(duì)于矩陣 A ∈ Rn n， X ∈ Rn ， 恒有： ||AX|| ? ||A||? ||X||. （ 5） 對(duì)于任意 A、 B ∈ Rn n 恒有 ||AB|| ? ||A|| ? ||B|| 17/35 計(jì)算方法 三 ⑤ ?譜半徑： 設(shè) n?n 階矩陣 A的特征值為 ? i(i=1,2,3……n),則 稱 ρ(A)=MAX | ?i| 為矩陣 A的譜半徑 . 1? i ?n ???????????????163053064A例 的 譜半徑 2)A( ?? ?mm AA )]([)( ?? ?譜半徑 =A的特征值中絕對(duì)值的最大者 )2()1( 2 ???? ??? AE?解 : 18/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 定理 A為任意 n階方陣，則對(duì)任意矩陣范數(shù) ||A||，有： ρ(A)≤||A|| 矩陣范數(shù)與譜半徑之間的關(guān)系為 : ρ(A) ? ||A|| 證 :設(shè) λ為 A的任意一個(gè)特征值 , X為對(duì)應(yīng)的特征向量 A X = λ X 兩邊取范數(shù) ,得 : || A X || = ||λ X || =|λ | || X || |λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X || 由 X ≠0 ,所以 || X || 0 , 故有 : |λ | ≤|| A || 所以特征值的最大值 ≤||A||，即 ρ(A)≤||A|| 19/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 定理 設(shè) A為任意 n階方陣，則對(duì)任意矩陣范數(shù) ||A||，有： ρ(A)≤||A|| 定理 設(shè) A為 n階 對(duì)稱方陣 ，則 有 : ||A||2= ρ(A) )()()()(||||222AAAAAA T????????ATA=A2 20/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 矩陣序列的收斂性 定義 設(shè) Rn n中有矩陣序列 {A(k)|A(k)=(aij(k))}，若 , . . . ,2,1。, . . . ,2,1lim )( njniaa ijkijk?????則稱矩陣序列 {A(k)}收斂于矩陣 A=(aij)，記為 AA kk ??? )(lim? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????????kkkkkaaaaA22211211a11 a21 a12 a22 如 21/35 計(jì)算方法 三 ⑤ ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????????kkkkkaaaaA22211211a11 a21 a12 a22 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??????????????????2221121122211211aaaaaaaaAkkkkk則有 ? ? 0l i ml i m )()( ???? ???? AAAA kkkk22/35 計(jì)算方法 三 ⑤ 關(guān)于矩陣序列收斂的性質(zhì)： 定義 設(shè) A∈ Rn n中，稱 ||AB||為 A與 B之間的距離 ,其中 ||A||為 Rn n上的某種范數(shù)
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