ch2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析(編輯修改稿)
2024-11-04 22:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? 原因 : 狀態(tài)變量的不同選擇 ? 這就產(chǎn)生了一個(gè)問題 : ? 各種不同選擇的狀態(tài)變量之間 ,以及它們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何 ? 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形 (3/8) ? 此外 ,在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中 ,某些特殊的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對(duì)討論問題相對(duì)簡(jiǎn)單得多 ,如前面建立的對(duì)角線規(guī)范形的和約旦規(guī)范形。 ? 于是自然會(huì)提出如下問題 : ? 如何把一般形式的狀態(tài)空間模型變換成特定形式的狀態(tài)空間模型 ,以降低系統(tǒng)的分析問題和設(shè)計(jì)問題的難度。 ? 解決上述兩個(gè)問題 ,就需引入狀態(tài)空間的線性變換。 ? 什么是狀態(tài)空間的線性變換 ? 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形 (4/8) ? 狀態(tài)變量是一組實(shí)變量 ,它們所組成的狀態(tài)空間為一個(gè)實(shí)線性空間。 ?由線性代數(shù)知識(shí)可知 ,線性空間中 ,隨著表征空間坐標(biāo)的 基底的選取的不同 ,空間中的點(diǎn)關(guān)于各種基底的 坐標(biāo)亦不同 。 ?這些基底之間的關(guān)系為進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換 ,而空間中的點(diǎn)的 x x 39。 y y 39。 A ( x a , y a ) ( x 39。 a , y 39。 a ) 坐標(biāo)則相當(dāng)于作了一次相似變換。 ?如 ,在如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系中 ,A點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)存在如下變化關(guān)系 (其中 P為非可逆的變換矩陣 ) ???????????????aaaayxPyx狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形 (6/8) ? 引入坐標(biāo)變換和狀態(tài)空間線性變換等概念 ,實(shí)際上就回答了上述兩個(gè)問題 : 1. 不同選取狀態(tài)變量之間存在一個(gè) 坐標(biāo)變換 ,其相應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間也存在一個(gè)相應(yīng)的 相似變換 。 2. 既然可以對(duì)狀態(tài)變量和狀態(tài)空間模型進(jìn)行線性變換 ,則在一定條件下應(yīng)可以將一般形式的狀態(tài)空間模型變換成某種特殊的狀態(tài)空間模型。 ? 上述狀態(tài)變量向量 x與 間的變換 ,稱為狀態(tài)的線性變換。 由線性代數(shù)知識(shí)可知 ,它們之間必有如下變換關(guān)系 τ τ1 2 1 2[ . . . ] [ . . . ]nnx x x x x x??xx狀態(tài)空間的線性變換 (1/1) 1. 狀態(tài)空間的線性變換 ? 設(shè)描述同一個(gè) 線性 狀態(tài)空間的兩個(gè) n維的狀態(tài)變量向量分別為 其中 P為 n?n維的非奇異變換矩陣。 xxxx 1~~ ??? PP? 值得指出的是 : x? 變換矩陣 P只有為非奇異的 ,才能使 x和 間的變換關(guān)系是等價(jià)的、唯一的和可逆的。 x?兩種表達(dá)式式之間存在什么關(guān)系 ? 狀態(tài)空間的線性變換 (1/14) ? 設(shè)在狀態(tài)變量 x和 下 ,系統(tǒng)狀態(tài)空間模型分別為 x( , , , ) :( , , , ) :ABA B C DCDABA B C DCD???? ????? ???? ?????x x uy x ux x uy x u? ?P P A P B? ? ? ?x x x u? 將變換關(guān)系 x=P 代入 ?(A,B,C,D)的 狀態(tài)方程中有 x狀態(tài)空間的線性變換 (2/14) 11P A P P BCP D??? ???? ????x x uy x u由于變換矩陣 P非奇異 ,因此有 則有 ? 應(yīng)該注意的是 ,系統(tǒng)的初始條件也必須作相應(yīng)的變換 ,即 ? 將上式與狀態(tài)空間模型 比較 ,則線性系統(tǒng) ?(A, B,C,D)在線性變換矩陣 P下的各矩陣具有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系 ( , , , )A B C D?11A P A P B P B C CP D D??? ? ? ?其中 t0為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻 。 )((~ 010 tPt xx ??）系統(tǒng) 特征值的不變性 (1/2) 系統(tǒng)特征值的不變性 ? 系統(tǒng)的特征值表征了系統(tǒng)本質(zhì)的特征。 ? 而線性變換只是相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)從另外一個(gè)角度來描述而已 ,并未改變系統(tǒng)的本質(zhì)。 ? 刻劃了系統(tǒng)本質(zhì)特征的系統(tǒng)特征值應(yīng)不隨線性變換而改變 ,即有如下 結(jié)論 : ? 線性定常系統(tǒng)特
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