16711波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋16712schr246dinger方程16713量子態(tài)疊(編輯修改稿)
2025-11-04 19:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 kx ?? ??~px ?? ?則 粒子主要局限在 α/1?x 即 α/1~x?Ψ(x)的 Fourier展開是 則 所以 α~k?則對 Gauss波包，有 利用德布羅意關(guān)系得 1/α 1/α 2)(xψ2/??? px ??微觀粒子的位置（坐標(biāo)）和動量不能同時具有完全確定的值，這是 波粒二象性的反映。 不確定性關(guān)系 或者表述為 ：假如對任一客體進(jìn)行測量，以不確定量 Δp測定其 動量的 x分量時，就不可能同時測定其位置比 Δx=h/Δp更準(zhǔn)確。 問題 1 不確定性關(guān)系與我們的日常生活有無矛盾 ? 如一粒塵埃，直徑 ~1μm, 質(zhì)量 m~1012g，速度 v~， 則其 動量 p=mv~1013g cm/ Δx~1埃，由不確定性關(guān)系 可得 Δp~1019g cm/s,則 Δp/p~106 ，而對這種粒子的任何實際測 量的相對精度都沒達(dá)到 106，因此即使像塵埃那樣的粒子經(jīng)典力學(xué) 的概念仍然適用。 問題 2 原子核的組成問題 考慮 β衰變 (原子核自發(fā)地放出高速電子 )。原子核的半徑 1012m, 若電子時原子核的組成粒子，則其位置不確定度 Δx≤ 1012m, 由不確定性關(guān)系得 Δp≈1015gcm/s. 從數(shù)量級上考慮 p~ Δp 因此電子的能量 M e V204222 ????? pcpccmcpE ?而所有原子核在 β衰變中放出電子的能量 M e V1?βE結(jié)論： 在 β衰變中放出的電子并不是原子核的一個組成粒子，而是 在衰變過程中產(chǎn)生的。 問題 3 估計物質(zhì)結(jié)構(gòu)的不同層次的特征能量 不確定性關(guān)系 ??? px ??在非相對論情況下 mpmpE 2/)(2/ 22 ???對于原子 ， Δx~108cm， 用電子質(zhì)量代入可得 eV4)(2 22?? xmEe ??對中等質(zhì)量的原子核 ， Δx~6 1013cm， 用中子質(zhì)量代入可得 M e V1)(2 22?? xmEn ??在相對論情況下 xcpcpcE??????粒子的大小 Δx≤ 1013cm， 則其能量為 E~ 力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn) ? ????? rxrx 32 d)( ?ψ? ????? rrVrV 32 d)()( ??ψ? ????? rrprp 32 d)()( ???? ψ? ???? ??? rerp rp 3/i2/3 d)()2( 1)( ?????? ψπφ若波函數(shù)已經(jīng)歸一化，則位置的平均值為 勢能的平均值為 因空間中某一點的動量沒有意義，則動量的平均值 如何求動量的平均值？ 給定波函數(shù) Ψ( r ), 測得粒子的動量在 (p,p+dp)中的概率為 pp 32 d)( ??，其中 ??? ?? i?p? ?? rrprp 3d)(?)( ???? ????????????????????????????????????)()i)((d )()i()2(1)(dd )()2(1)(d )()(dd)(3/i2/333/i2/333332rrrperrppperrpdpppppppprprp???????????????????????ψψφπψφπψφφφ則粒子動量的平均值為 令 則 zpypxp zyx ???????????? ??? i? ,i? ,i?動量算符 動能的平均值 2232? ,d)(?)( ???? ? ?mTrrTrT??? ψψ角動量的平均值 prlrrlrl ?? ,d)(?)( 3 ??????? ??? ? ? ψψ角動量的三個分量算符 ????????????????????????????????????????????????????????????xyyxpypxlzxxzpxpzlyzzypzpylxyzzxyyzx???i???i???i???一般地 )?,(d)(?)( 3 ψψψψ ArrArA ?? ? ? ??若波函數(shù)沒有歸一化，則 ),/()?,( ψψψψ AA ?思考題 如果給定波函數(shù) Φ(p),則粒子坐標(biāo)的平均值為 prpprpr ?????????? ? ????? i? ,d)(?)( 3φφ試證明之。 統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)提出的要求 (a) 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，其概率密度在空間有限區(qū)域內(nèi)的積分 應(yīng)該為有限值。 )39( d)(032 有限值??τ ψ rr?(b) 一個真實的波函數(shù)應(yīng)該滿足歸一化條件 )40( 1d)( 32 ??全 rr?ψ(c) 按統(tǒng)計詮釋的要求，波函數(shù)模的平方應(yīng)為單值 如果取波函數(shù)的孤立奇點 r0=0，當(dāng) r→0 時，上式的積分應(yīng)該趨于 0， 即要求 0)( 23 ?rr ?ψ若當(dāng) srr /1~,0 ψ? ，則要求 2/3?s(d) 波函數(shù)及其各階微商的連續(xù)性 一般要求： 單值、連續(xù)、有限 例題 1 電子顯微鏡的分辨率。要觀測一個大小為 光子的最小能量是多少？若把光子改為電子呢？ 解： 為發(fā)生散射光波的波長必須與所觀察物體的大小同數(shù)量級， 或者更小，所以在該問題中所采用光波的最大波長 λ=。 相應(yīng)的光子的最小能量為 eVhchE 3m a xm i nm i n ???? λν若把光子改為電子，則電子的最大波長 λ= 按照非相對論計算， ke Emp 2?則 ke Emhph2??λ則最小能量是 eVm hEek 2m a x2m i n ?? λ對于給定的能量，電子比光子具有更高的分辨率。 例題 2 一維運動的粒子處于狀態(tài) ?????? ?0 ,00,)(xxA x ex xλψ其中 λ0, A是待求的歸一化常數(shù)，求： (1)粒子坐標(biāo)的概率密度； (2)粒子坐標(biāo)的平均值和粒子坐標(biāo)平方的平均值； (3) 粒子動量的概率分布函數(shù)和概率密度； (4)粒子動量的平均值和動量平方的平均值。 解： 首先對波函數(shù)歸一化，由波函數(shù)的歸一化條件 1d)( 2 ?????? xxψ得 14d 320222 ??? ? ?λλ AxexA x2/32λ?A計算得 ?????? ?0 ,00,2)( 2/3xxxex xλλψ則 (1)粒子的概率密度為 ??????? ?0 ,00,4)( 2232xxexx x????(2) 粒子坐標(biāo)的平均值 ????23d4d0233 ??? ?? ? ?????xexxxx x坐標(biāo)平方的平均值 2024322 3d4d???? ??? ?? ? ?????xexxxx x? ? 22/130)/i(2/13/i2/1/i)2(2d)2(2 d)()2(1)(??????????????????????pxxexexpxppxλπλπλψπφλ則粒子動量的概率分布函數(shù)是 2222332)(2)(pp ?? ??λπλφ(4)粒子動量的平均值為 0d)( 2 ?? ? ???? p
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