【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????則我們得到: ()11,()ikxikxAe????? ()222 0B???由于當(dāng) 時(shí),波函數(shù)應(yīng)該保持有限,所以應(yīng)取()中的 .因此有x??B?? ()12kiA??? ()12Bi??此時(shí)反射系數(shù)為: ()212RAJki????透射系數(shù)為: ()210DBJRA??與經(jīng)典力學(xué)不同的是,雖然透射系數(shù)為零,但在 ?如果我們?nèi)?,則可將波函數(shù)寫作:1A? ()112,(0)ikxikxee?????圖 設(shè) , ,12k?粒子幾率密度圖.圖 設(shè) , ,12k?粒子幾率密度圖.對(duì)于兩個(gè)圖并排情況 ,注意兩圖要對(duì)齊 ,說(shuō)明文字也要對(duì)齊 ,圖的版式采用上下型 .晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文9 ()212,(0)xkei??????從()可以看出雖然入射波與反射波的振幅相同,反射系數(shù)為 1,但由于 為一復(fù)/A?數(shù),但與光在金屬 ?由 ()和 ()式 我 們 可 以 畫 出 在 和 區(qū) 域 中 找 到 粒 子 的 幾 率 密 度 曲 線 .0x?從 圖 中 可 以 明 顯 的 看 出 ,在 找 到 粒 子 的 幾 率 隨 著 的 增 加 而 指 數(shù) 衰 減 ,在 的0x? 21/x??區(qū) 域 內(nèi) ,找 到 粒 子 的 幾 率 幾 乎 可 以 忽 略 不 計(jì) .值 得 注 意 的 是 由 于 反 射 波 的 振 幅 與 入 射 波 的振 幅 相 同 ,所 以 入 射 波 與 反 射 波 在 的 區(qū) 域 中 發(fā) 生 干 涉 ,使 得 一 些 點(diǎn) ,這 是 干20??涉 相 消 的 結(jié) 果 .這 與 時(shí) 的 情 況 不 同 ,因 為 在 時(shí) 入 射 波 的 強(qiáng) 度 大 于 反 射 波 的0EU0EU?強(qiáng) 度 ,干 涉 相 消 的 結(jié) 果 只 使 的 區(qū) 域 中 的 一 些 點(diǎn) 的 幾 率 密 度 取 極 小 值 ,另 一 點(diǎn) 取 極 大0x?值 ,但 不 會(huì) 完 全 為 零 .當(dāng) 然 當(dāng) 時(shí) ,反 射 波 的 振 幅 接 近 入 射 波 的 振 幅 ,因 而 那 些 取 極2k?小 值 的 點(diǎn) 將 趨 于 零 . 0U?的情況當(dāng) 勢(shì) 壘 高 度 趨 于 無(wú) 窮 大 時(shí) ,即 時(shí) 的 解 ,可 以 由 的 情 況 中 令0U?0EU?得 到 :2?? ()212limkiA???????? ()212li0Bi此時(shí)反射系數(shù)為:圖 設(shè) , ,12k??粒子幾率密度圖.圖 設(shè) , ,12k??粒子幾率密度圖.晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文10 ()221limRJki????????透射系數(shù)為: ()2li10DJ??如果我們令 ,則可將波函數(shù)寫成如下形式:1A? ()11,()ikxiex??? ()20,?值得注意的是,由() 和() 式給出的波函數(shù) 和 ,在 點(diǎn)處波函數(shù)連續(xù),但1?20x? 時(shí),在()式中0U??21()()()knxd??????????右端的積分在 時(shí),由于 ,波函數(shù)仍然保0?nx持連續(xù)但波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)卻不在連續(xù).我們可以由方程() 和()給出的波函數(shù) 和 ,繪出在 和 區(qū)域找1?20x??到粒子的幾率曲線圖 ,相位相差 ,顯然在??實(shí)際上 時(shí)所給出的粒子幾率分布曲線圖 ,是在 時(shí) 的極限0U??0EU2???,我們利用方程()和()分別取 為 、 和 畫出圖2圖 和圖 時(shí)與圖 已經(jīng)很接近,而當(dāng) 取210??2時(shí)圖 與圖 的情況實(shí)際1 0上是勢(shì)壘比粒子能量高的多時(shí)的一種理想近似.圖 當(dāng) ,取 ,0U??12k???時(shí)的粒子幾率密度圖.圖 當(dāng) ,取 ,0EU?12k??時(shí)的粒子幾率密度圖.晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文11圖 當(dāng) ,取 ,0U??12k?0?時(shí)的粒子的幾率密度圖.圖 當(dāng) ,取 ,0EU?12k?0?時(shí)的粒子幾率密度圖.晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文123 方形勢(shì)壘散射 模型與方程考慮在一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子,它的勢(shì)能在有限區(qū)域 內(nèi)等于常量??0xa?,而在這個(gè)區(qū)域外等于零,即??0?U ()?ax,x???0我們稱這種勢(shì)為方勢(shì)壘?圖 ?.具有一定能量 的粒子由E勢(shì)壘左方 向右方運(yùn)動(dòng).?0?粒子的波函數(shù) 所滿足的定態(tài)薛定諤方程是? ()??ax,Edx????02??和 ()????20,Uxa????同第二章一樣我們分兩種情況分別進(jìn)行討論. 0EU?情況與()式一樣我們定義 和 將方程() 和()改寫為1k2 ()??ax,dx????0?和 ()2,k此處 ,在 區(qū)域內(nèi),波函數(shù)0?x ()xikxikeA11?????是方程()的解 .在 區(qū)域內(nèi),方程()的解是ax, ()xikxikeB22??在 區(qū)域內(nèi),方程()的解是?()Ux0Oax圖 一維方勢(shì)壘晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文13 ()xikxikeC113?????按照公式() ??,iEtxt???定態(tài)波函數(shù)是 再分別乘上一個(gè)含時(shí)間因子 . 由此看出()—() 321, tie?三式右邊第一項(xiàng)是由左向右傳播的平面波,區(qū)域內(nèi),沒(méi)有由右向左運(yùn)動(dòng)的粒子,因而只應(yīng)有向右傳播的透射波,不應(yīng)有向左傳ax?播的波,所以在() 式中必須令 ()0??C在 和 均可以用波函數(shù)和波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件()和()來(lái)確定函數(shù)中的0?xa ,我們有??0201??xx?BA???由 有001??????????????xxdd?kk????21由 ,有??axax??32 aikaikaikCeBe122??由 有032??????????????xaxdd?aikaikaikee122???解這一組方程組,可以得出 和 的關(guān)系是A,C? ()????Aekekaiaiki22114?? ()2211snikaika????()和()求出透射系數(shù)為: ()??2212114sinDCJkAak???反射系數(shù)為:晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文14 ()??22121sin4RkakAJ D??????由上兩式可見, 和 都小于 1, 和 之和等于 區(qū)域,另一部分被勢(shì)壘反射回去..特別要注意當(dāng) , 時(shí),反射為ax? 2akn?012?零,透射系數(shù) ,. 1?從系數(shù)方程解得: 221221212()()()iakiikBAek?????令 我們得到波函數(shù)的形式為:1,A? ()??1 1221sinikx ikxikaiae ee?????? ()2 22 212 122 1() ()ix ikxiak iak e?? ? ()????1122314ikixiaikaee???設(shè) ,勢(shì)壘寬度 分別為 、 、 和 分別畫出粒子分布的幾率密度圖12,k?3?圖 取時(shí)粒子幾12,1ka?率密度分布.圖 取時(shí)的粒子12,ka?幾率密度分布.圖 取時(shí)的粒子12,3ka?幾率密度分布.圖 取時(shí)的粒子12,ka??幾率密度分布.晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文1圖 、圖 和圖 對(duì)應(yīng)共振散射的情形.如果我取 、 而分別令 為 1 和 我們得到圖 、圖 ?2k2k可以看出當(dāng),當(dāng) 減小,反射幾率增大,反2k 的區(qū)域內(nèi)入射波與反射波干涉相消使得0x?一些點(diǎn)波函數(shù)的密謀接近零. 0EU?情況這時(shí) 是虛數(shù),令2k 2ki??則 是實(shí)數(shù):2? ()??1202UE??????????把 換成 ,前面的計(jì)算仍然成立. 經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算后() 式可改寫為2k2i ()??12212shchikaeCAk?????透射系數(shù) 的公式可改寫為D ()2122114shDkak在()、()和()式樣中分別令 ,0.???可畫出在 時(shí)粒子分布的幾率圖 和圖 ,ak??0EU?的情況類似,這時(shí)反射波的強(qiáng)度和入射波的強(qiáng)度接近從而使在 的區(qū)域中入0EU? 0x?圖 取?幾率密度分布.圖 3..7 取時(shí)的粒12,0.,??子幾率密度分布.晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文16射波和反射波的干涉出現(xiàn)相消而使得一些點(diǎn)上找到粒子的幾率接近于零. 情況0EU?對(duì)于 情況,我們選擇較“不透明的勢(shì)壘”,即滿足 ,此時(shí)有0 20/8Ua???1122022EEk?????????????????111222022UU??????????????????由()式可以給出 和 的關(guān)系圖 ,當(dāng) 時(shí),2/DCA?0/E0E?,當(dāng)所選參數(shù)滿足 時(shí), ,在圖 中當(dāng) 時(shí), 120mUaD??????????28a??.2D0/1EU?.圖 透射系數(shù) 與 關(guān)系曲線圖D0/EU圖 取時(shí)的粒子12,.,k??.5a?幾率密度分布.圖 取時(shí)的粒子12,ak??幾率密度分布.晉中學(xué)院本科生畢業(yè)(設(shè)計(jì))論文17總 結(jié)我們?cè)诒疚闹袑?duì)粒子在一維階梯勢(shì)壘和方形勢(shì)壘的散射中的可能存在的各種情況線.在存在階梯勢(shì)壘的情況,如果 ,在 的區(qū)域由于入射波與反射波的干涉0EU?x?效應(yīng),幾率密度呈現(xiàn)出隨 的變化而波動(dòng),而在 的區(qū)域由于只有透射波存在,所以x幾率密度曲線為一直線(幾率密度為一常量)。如果 ,透射系數(shù)為零,在 的區(qū)0E0x?域由于入射波與反射波振幅相同,干涉相消使得一些 點(diǎn)幾率密度為零,而在 的x?區(qū)域由于透射波隨著 的增加而呈指數(shù)衰減,在方形勢(shì)壘情況,如果 有限,由于在0Ua的區(qū)域內(nèi)只存在透射波,所以幾率密度曲線為一直線(幾率密度為一常量)。而在0x?的區(qū)域由于存在入射波和反射波的干涉效應(yīng),使得粒子的幾率密度隨 不同而波? x,幾率密度值也并非總是單調(diào)地減小,特別是發(fā)生共振透射時(shí),在勢(shì)壘中存在一明顯的幾率密度峰.致 謝: 在此真誠(chéng)的感謝….注 釋:[1] 文中長(zhǎng)度單位取 為單位長(zhǎng)度.??1/220U??[2] 文中波矢單位取 為單位波矢./參考文獻(xiàn):[1] 周世勛. 量子力學(xué)教程[M]. 北京: 高等教育出版社. 1979. 48～48[2] 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)[M]. 3. 北京: 科學(xué)出版社. 1999. 108～108[3] J. Salmon. A. Gervat. [美] 顧世杰譯. 量子力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社. 1981. 165～166致謝部分頂格 , 致謝二字四號(hào)黑體 ,感謝部分小四號(hào)宋體 。段前空二行 .固定行