【文章內(nèi)容簡介】 化成對(duì)角矩陣 ；但是對(duì) E 只進(jìn)行其中的列變換 .，用CD、 分別表示 AE、 變化后的矩陣 ． （ 3）寫出 正交變換 過程中所進(jìn)行的一系列 非退化線性替換 X CY? ， 此線性替換將 化原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 ? ?12, nf x x x ? 39。YDY ． 此過程可簡單表示 為： AE?????? A E?????????? 對(duì) 進(jìn) 行 同 樣 的 初 等 行 、 列 變 換對(duì) 只 進(jìn) 行 其 中 的 列 變 換DC?????? ． 例 4 用 初等變換法 將二次型23( , , )f x x x ?2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 32 2 2 4 3x x x x x x x x x? ? ? ? ?變?yōu)?標(biāo)準(zhǔn)形． 解：首先寫出二次型 23( , , )f x x x 的矩陣 A ? 1 1 11 2 21 2 3???????? 然后構(gòu)造出 63? 矩陣 AE???????1 1 11 2 21 2 31 0 00 1 00 0 1??????????????2 1 1 3r , +r r r?????1 1 10 1 30 3 21 0 00 1 00 0 1?????????????2 1 1 3 , +j j j j?????1000 1 30321 1 10 1 0001?????????????2 6 3 6 4 6 5 63 ,i 9 ,i + 3 , 3i i i i i i????????1 0 00 1 00 3 71 1 40 1 30 0 1???????????????323 ,ii???? 1 0 00 1 00 0 71 1 40 1 30 0 1??????????????? 從以上過程 可以看出 C ? 1 1 40 1 3001????????， 最后作可逆線性替換 X CY? ， 則 23( , , )f x x x ? 39。1 0 00 1 00 0 7YY??????? （四） 雅可比 (Jacobi)方法 此方法 利用二次型的矩陣的順序主子式（也即雅可比行列式）來確定 標(biāo)準(zhǔn)形中各平方項(xiàng)的系數(shù) .這種方法較為簡便，但是有條件限制，它需要二 次型的矩陣所有的順序主子式必須都不為零 ． 1. 幾個(gè)相關(guān)定義 [1]定 義 V 是數(shù)域 P 上一個(gè)線性空間， f( , )?? 是 V 上一個(gè)二元函數(shù)，如果f( , )?? 有下列性質(zhì)： （ 1） 1 1 2 2 1 1 2 2f ( ,k + ) = k f ( , ) + k f ( , )k? ? ? ? ? ? ?； （ 2） 1 1 2 2 1 1 2 2f ( k + , ) = k f ( , ) + k f ( , )k? ? ? ? ? ? ?； 其中 1 2 1 2, , , , ,? ? ? ? ? ?是 V 中任意向量， 12k,k 是 P 中任意數(shù)，則稱 f( , )?? 為V 上的一個(gè)雙線性函數(shù) ． [11]定 義 f( , )?? 線性空間 V 上的一個(gè)雙線性函數(shù) ， 如果對(duì) V 中任意兩個(gè)向量α ,β都有 f( , )?? =f( , )?? ， 則稱 f( , )?? 為對(duì)稱雙線性函數(shù) ． [11]定 義 設(shè) f( , )?? 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 上的一個(gè)雙線性函數(shù) . 1 2 n, ,...,? ? ? 是 V 的一組基，則矩陣1 1 ) 1 nn 1 ) n n )f ( , f ( , )A=f ( , f ( ,? ? ? ?? ? ? ???????稱為 f( , )?? 在1 2 n, ,...,? ? ? 下的度量矩陣 ． 2. 解題步驟 雅可比方法的計(jì)算步驟歸納如下： （ 1）在矩陣 A 的非對(duì)角線元素中選取一個(gè)非零元素 ija .一般說來，取絕對(duì)值最大的非對(duì)角線元素 。 （ 2） 由公式 jjiiijaa atan ?? 22?求出 ? ，從而得平面旋轉(zhuǎn)矩陣 IJPP?1 。 （ 3） 111 APPA T? , 1A 的元素由公式 (9)計(jì)算 ． （ 4） 以 1A 代替 A ，重復(fù)第一、二、三步求出 2A 及 2P ，繼續(xù)重復(fù)這一過程，直到 mA 的非對(duì)角線元素全化為充分小 (即小于允許誤差 )時(shí)為止 ． （ 5） mA 的對(duì)角線元素為 A 的全部特征值的近似值 , mP...PPP 21? 的第 j列為對(duì)應(yīng)于特征值 j? ( j? 為 mA 的對(duì)角線上第 j 個(gè) 元素 )的特征向量 ． 例 5 用雅可比方法將二次型 1 2 3( , , )f x x x = 2 2 21 2 3 1 2 1 32 3 4x x x x x x x? ? ? ?化為標(biāo)準(zhǔn)形 ． 解：二次型的矩陣32223A = 1 022 0 1??????????，順序主子式 1=2? ，2 1=4?，3 1=44?都不等于零，所以能采用雅可比方法 ． 設(shè)1 2 31 0 00 , 1 , 00 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，雙線性函數(shù) f( , )?? 關(guān)于基 1 2 3,? ? ? 的矩陣為A , 則 A=? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3f , f , f ,f , f , f ,f , f , f ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????=32223 1022 0 1???????????? 再設(shè)1 11 12 12 1 22 23 13 1 23 2 33 3cccc c c??? ? ?? ? ? ????????? ? ?? 系數(shù) 11c 可由條件 ? ?11f , 1??? 求出，即 ? ?11 1 1 11c f , 2 c 1?? ??， 從而得出11 12c ?，所以 1 11 1 112102 0c? ? ???????? ? ?????????，系數(shù) 12 22,cc可由方程組? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 1 2 2 1 21 2 1 2 2 2 2 2, , 0, , 1c f c fc f c f? ? ? ?? ? ? ???????? 求出，并可得到122268cc ??? ??? ，所以 2 12 1 22 2cc? ? ???=680?????????，系數(shù) 13 23 33,c c c 可由方程組13 23 3313 2313 3332 2 023 0221c c ccccc? ? ? ???? ?????????求出，即1323338171217117ccc? ???? ????? ???， 所以38171217117???????????????????.由此可得，由基1 2 3,? ? ? 到 1 2 3,??? 的過渡矩陣為1862 1712081710017C??????? ? ?????． 因此 1 2 3( , , )f x x x 經(jīng)線性替換X CZ? 能夠化成標(biāo)準(zhǔn) 形 ： 2 2 2 2 2 20 1 21 2 3 1 2 31 2 3 11z z z 82 1 7z z z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?． （五）偏導(dǎo)數(shù)法 偏導(dǎo)數(shù)法與配方法的實(shí)質(zhì)是相同的，但是它是根據(jù)函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系這一原理，依據(jù)配方法提出的化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形的新方法，配方法需要仔細(xì)觀察然后進(jìn)行配方，而這種方法具有固定的程序，可以按步驟一步一步進(jìn)行計(jì)算 ． 因此，能夠提高準(zhǔn)確性， 且易于理解 ，求解過程也更加簡單 ． 利用偏導(dǎo)數(shù)法將二次型 ? ?12, ... nf x x x ＝11nnij i jija x x????化為標(biāo)準(zhǔn)形 的解題步驟如下：（注意，運(yùn)用該方法時(shí)，要將二次型分為兩種情形來進(jìn)行討論 ． ） 1. 情形 1： 二次中含有 ix 的平方項(xiàng)，即 iia ? ?1,2,...in? 中至少有一個(gè)不為零的情形． （ 1） 不妨設(shè) 11a 不等于零，將 f 對(duì) 1x 的偏導(dǎo)數(shù) 1fx?? 求出來，并記 1