數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程ch(3)(編輯修改稿)
2025-06-18 02:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 假設(shè)總體 X 具有概率密度函數(shù) f (x)，因樣本 X1,X2,? ,Xn獨(dú)立 同分布 于 X，于是，樣本的 聯(lián)合概率密度函數(shù)為 121( , , , ) ( ) .nniig x x x f x?? ?例 7： 假設(shè)某大城市居民的收入 X 服從正態(tài)分布N(?,?2), 概率密度為 現(xiàn)從總體 X 中隨機(jī)抽取樣本 X1,? ,Xn ,因其獨(dú)立 同分布于 總體 X，即： Xi ～ N(?,?2), i＝ 1,2,? ,n. 于是，樣本 X1,X2,? ,Xn 的聯(lián)合概率密度 為 . ,21)( 222)(Rxexfx????????.)2(1),(122 )(212/21?????niixnnn exxxg????? 由樣本推斷總體的某些情況時(shí) ， 需要對(duì)樣本進(jìn)行 “ 加工 ” ， 構(gòu)造出若干個(gè)樣本的已知 (確定 )的函數(shù) ， 其作用是把樣本中所含的某一方面的信息集中起來(lái) 。 統(tǒng)計(jì)量 這種 不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。 它是完全由樣本所決定的量。 167。 統(tǒng)計(jì)量 幾個(gè)常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量 樣本均值 樣本方差 ???niiXnX11?????nii XXnS122 )(11 反映總體 均值的信息 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ?????nii XXnS12)(11樣本 k 階原點(diǎn)矩 樣本 k 階中心矩 ???nikik XnA11????nikik )XX(nB11 k=1,2, … 反映總體 k 階矩的信息 反映總體 k 階 中心矩的信息 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量既然依賴于樣本，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，有一定的分布，這個(gè)分布稱為統(tǒng)計(jì)量的 抽樣分布。 定理 1： 設(shè) X1,X2,?,Xn是來(lái)自均值為 ? ,方差為 ?2 的總體的樣本，則當(dāng) n 充分大時(shí) , 近似地有 ? ? . / , 2 nNX ??～抽樣分布定理 證明： 因 X1,X2,? ,Xn是來(lái)自均值為 ? ，方差為 ?2 的 總體的樣本 。 故 X1,X2,? ,Xn 獨(dú)立同分布 , 且 E(X)=?， Var(X)=?2, i=1,2,? ,n。 據(jù)中心極限定理，有 對(duì)充分大的 n，近似地有 ).1,0( / 1 NnXnnXnii～近似即????????? ? . / , 2 nNX ??～● 樣本均值分布函數(shù)的近似計(jì)算 定理應(yīng)用 , ),1,0( / RaNnX ??? 所以近似～因???????? ????????nanXPaXP//}{ ????./ ?????? ???na??總有 ● 樣本均值與 ? 的偏差在一定范圍內(nèi)的概率的 近似計(jì)算 ? ? ///?????? ???????ncnXncPcXP?????? ? ? ?? ? .1/ 2/ / ???????????從上式可以看出： 對(duì)給定的 ?2和給定的 c0， 當(dāng)樣本大小 n 增大時(shí)，上面的概率也隨之增大； n 趨于無(wú)窮時(shí)，上式趨近于 1。 任給 c 0，總有 例 1： 用機(jī)器向瓶子里灌裝液體洗滌劑 ， 規(guī)定每瓶裝 ? 毫升 。 但實(shí)際灌裝量總有一定波動(dòng) 。假定灌裝量的方差 ?2=1， 如果每箱裝這樣的洗滌劑 25 瓶 。 求 這 25 瓶洗凈劑的平均灌裝量與標(biāo)定值 ? 相差不超過(guò) ；又如果每箱裝 50瓶時(shí)呢 ? 解： 記一箱中 25 瓶洗凈劑灌裝量為 X1,X2,… , X25 是來(lái)自均值為 ? , 方差為 1的總體的隨機(jī)樣本。根據(jù)抽樣分布定理 1，近似地有 ，～ )1 / 2 5 ,( ?NX當(dāng) n=50時(shí)， 同樣可算出： ? ? ?? ?XP? ? ? ?? ?；8 6 6 25/125/125/1?????????
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