等差數(shù)列前項(xiàng)和公式(編輯修改稿)
2025-06-17 17:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 項(xiàng)和練習(xí) 23 1. 求自然數(shù)中前 n個(gè)數(shù)的和 . 1,2,3,4,…,n .2 )1(2 )1( ?????? nnnnS n2. 求自然數(shù)中前 n個(gè)偶數(shù)的和 . 2,4,6,8,…,2n ).1(2 )22( ?????? nnnnS n 思考：若數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn=an2+bn (a,b為常數(shù) )，則數(shù)列 {an}是等差數(shù)列。 ?{an}是等差數(shù)列 Sn=an2+bn(a,b為常數(shù) ) ∵ Sn= dn2＋ (a1－ d)n = (－ 2)n2＋[21－ (－ 2) ]n=－ n2＋ 22n=－ (n－ 11)2＋ 121， 21212121例 1：已知數(shù)列 {an}是等差數(shù)列，且 a1= 21，公差d=－ 2，求這個(gè)數(shù)列的前 n項(xiàng)和 Sn的最大值。 解： ∵ a=－ 1, ∴ 當(dāng) n＝ 11時(shí)， (Sn)max=121。 例２、等差數(shù)列 {an}中，首項(xiàng) a1＜０， S3 = S11，問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最?。? 審題：由 a1＜ 0, S3 = S11可得： d＞ 0, 則等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn=an2+bn是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，因而存在最小值。由 S3=S11可找到系數(shù) a與 b的關(guān)系。 二次項(xiàng)系數(shù)ａ在此題中的作用是什么？ 如果ａ小于0，此數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和可能存在最大值。 如果ａ小于0，此數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和是否存在最小值？ 解： 依題意可設(shè) Sn=an2 + bn， ∵ S3= S11,∴ a 32＋ b 3= a 112＋ b 11, ∴ 8b= － 112a，即 b=－ 14a, ∴ Sn= an2+bn = an2－ 14an =a(n2 － 14n)=a(n－ 7)2－ 49a． ∵ a 0, ∴ 當(dāng) n=7時(shí)， (Sn)min=－ 49a, ∴ 這個(gè)數(shù)列的前 7項(xiàng)的和最小。 例２：等差數(shù)列 {an}中，首項(xiàng) a1＜０， S3 = S11，問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最小？ ∵ a10, S3= S11, ∴ d 0，即 a= d 0， 21 的值。最大的序號(hào)求使得項(xiàng)和為的前，，：已知等差數(shù)列例nSSnnn ,3452 7472 ?取最大值。時(shí)，或取正整數(shù)于是當(dāng) nSn 87的變化情況的關(guān)系，項(xiàng)和的正負(fù)情況與前本例解法是利用通項(xiàng) nn Sna87n,8700575,74075)1(2111或取則解得：由：由已知條件得：解????
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