分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程(編輯修改稿)
2025-06-17 15:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x??L T V??d ( ) 0d kkLLt q q??????系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（動勢） 2 2 211 1 12 2 2B B I AT m x J J??? ? ?2 2 2 2 21 2 21 1 1 1 32 2 2 2 2BAm x m R m R??? ? ?12 22 012 1 ()22mm x k x m g x??? ? ??代入拉格朗日方程 1 2 0 1( 2 ) ( ) 0m m x k x m g?? ? ? ??M112 注意到 可得系統(tǒng)的運動微分方程 01k m g? ?12( 2 ) 0m m x k x?? ?M113 已知： M1的質(zhì)量為 m1， M2的質(zhì)量為 m2，桿長為 l。 試建立此系統(tǒng)的運動微分方程 。 解：圖示機構(gòu)為兩個自由度，取 x1， ? 為廣義坐標，則有。 系統(tǒng)動能 ： 1 0y ? 2 c o syl ??2 2 21 1 2 2 211 ()22T m x m x y? ? ?求導(dǎo) ： 21 sinx x l ???1 0y ? 2 sinyl ????21 c o sx x l????2221 2 1 11 ( ) ( 2 co s )22mlm m x l x? ? ?? ? ? ?M114 2 ( 1 c o s )V m gl ???系統(tǒng)勢能 ： （選質(zhì)點 M2 在最低位置為零勢能位置） 求導(dǎo)運算可得： 1 2 1 21( ) co sT m m x m lx ??? ? ? ??1 1 0xVQx?? ? ??1 0Tx? ??21 2 1 2 21d ( ) co s s i ndT m m x m l m ltx ? ? ? ?? ? ? ? ??d ()d kkkTT Qt q q?? ????由拉格朗日方程 得 21 2 1 2 2( ) co s s i n 0m m x m l m l? ? ? ?? ? ? ?M115 同理： 22 2 1 co sT m l m l x???? ???21sinVQ m g lx? ??? ? ? ??21 sinT m l x ???? ??2 1 11d ( co s s i n )dT m l l x xtx ? ? ? ?? ? ? ??d ()d kkkTT Qt q q?? ????由拉格朗日方程 得 2 1 1 2( c o s si n ) si nm l l x x m g l? ? ? ? ?? ? ? ?M116 [例 ] 水平面內(nèi)運動的行星齒輪機構(gòu) 。 均質(zhì)桿 OA：重 P， 可繞 O點轉(zhuǎn)動；均質(zhì)小齒輪：重 Q， 半徑 r ， 沿半徑為 R的固定大齒輪滾動 。 系統(tǒng)初始靜止 ， 系桿 OA位于圖示 OA0位置 。 系桿 OA受大小不變力偶 M作用后 ， 求系桿 OA的運動方程 。 ?????rrRrvrRvAAA????? )(解 ： 圖示機構(gòu)只有一個自由度 ， 所受約束皆為完整 、 理想 、 定常的 ， 可取 OA桿轉(zhuǎn)角 ? 為廣義坐標 。 M117 2 2 21 1 12 2 2OA AAQT J v Jg??? ? ?()WQM ?????
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