理論力學(xué)教學(xué)材料12振動(dòng)(編輯修改稿)
2025-06-17 14:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 物 E質(zhì)量為 m, 不計(jì)輪 D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。 求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。 21 , kk 解 ： 取靜平衡位置 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 取 C偏離平衡位置 x為廣義坐標(biāo) 。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為： 22 ) )()( ( )(21 ]))[((21212ma x21ma x22ma x21ma xRkkrRmgxkkxRrRmgxkkVststst??????????????2m a x22222m a x2m a x22m a xm a x] [21 )(21 )(21)(21xr)m ( R)RM(RxRrRmRxMxMT??????????????以平衡位置為重力及彈性勢(shì)能零位置，則： 23 設(shè) 則有 )s i n ( ?? ?? nAx nAxAx ??? m axm ax , ? )(21 2 )()( 221m a x222222m a x AkkVARrRmRMTn ?????? ??根據(jù) Tmax=Vmax , 解得 222221)()()(rRmRMRkkn ???????24 167。 122 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 一、阻尼的概念 ： 阻尼 ：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼 ：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，介質(zhì)粘性引起的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。 vR ???投影式： xR x ???? μ —— 粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱 阻尼系數(shù) 。 自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅不隨時(shí)間而變。但實(shí)際中振動(dòng)的振幅幾乎都是隨時(shí)間逐漸減小的（也稱為 衰減振動(dòng) ），這是因?yàn)橛凶枘帷? 25 二、振動(dòng)微分方程及其解 ： 質(zhì)量 — 彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼： xkxxm ??? ????有阻尼自由振動(dòng)微分方程的 標(biāo)準(zhǔn)形式 。 02 2 , 22n ????? xxnx mnmk n??? ???則令26 其通解分三種情況討論： 小阻尼情形 mkn n 2 )( ?? ??)s i n ( ?? ?? ? tAex dnt22 nnd ?? ?? — 有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率 則時(shí)設(shè) , , , 0 00 xxxxt ?? ???0022012220020 tg 。 )(nxxnxnnxxxA nn ??????? ??? ???27 衰減振動(dòng)的特點(diǎn)： (1) 振動(dòng)周期變大， 頻率減小。 mknnTnnd222221????????????—— 阻尼比 當(dāng) 時(shí)，可以認(rèn)為 nn ??? TTnd ?? 1 ??28 (2) 振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減 對(duì)數(shù)減幅系數(shù)： 11ln nTe nT ?? ??1)1(1 nTintTitnii eAeeAAA ????? ??相鄰兩次振幅之比 振幅： inti AeA ??)( 2222 21 tn tnnt nn eCeCex ?? ???? ??)( nn ??大阻尼阻尼情形 積分常數(shù)由 C C2由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。 29 物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的增長(zhǎng)， x 0，不具備振動(dòng)特性。 臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù) )( nn ??mkc 2??)( 21 tCCex nt ?? ?（ C C2由運(yùn)動(dòng)的初始條 件決定） 綜上所述， 系統(tǒng)受粘滯阻尼作用時(shí)，只有在 n＜ ωn的情況下才發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)的周期較無阻尼時(shí)略長(zhǎng)，而振幅則按幾何級(jí)數(shù)遞減。 30 例 3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)， W=150N， ?st=1cm , A1=, A21=。 求阻尼系數(shù) μ 。 20120212312121 )( nTeAAAAAAAA ?
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