【文章內(nèi)容簡介】 叫做 風(fēng)險行動 ??X? 的分布函數(shù) ， 是指 。 ?定理 若 f , g 分別是 風(fēng)險行動 ?,? ?X? 的分布函數(shù) ， 則對任何實數(shù) p?[0, 1]， pf +(1? p)g 是 p? ? (1? p)? 的分布函數(shù) 。 證明 ：任給實數(shù) p?[0, 1]，并 設(shè) A是概率為 p的事件。為了計算 p? ? (1 p)? 的分布函數(shù)，任意給定 。記 ? = p? ? (1 p)?及 B = {?(?) x}。根據(jù)全概公式，我們有： RRf ??:}))({)()(( xPxfRx ????? ????Rx?)()1()(})({)1(})({}))(({)1(}))(({)()()()()(})({xgpxfpxPpxpPAxPpAxpPABPAPABPAPBPxPccc????????????????????????????????這就證明了 p f +(1? p) g 是復(fù)合行為 p? ?(1? p)? 的分布函數(shù)。 (二 ) 風(fēng)險選擇集合 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 22 4. 風(fēng)險行為的分布函數(shù)表示 隨機 向量可以用分布函數(shù)表示，風(fēng)險選擇集合 X? 也就可用分布函數(shù)集合 D 表示，并可直接把 D叫 做 風(fēng)險選擇集合 ： D = { f : f 是 X?中的隨機向量的分布函數(shù) } ?對任何 x?X， 可用退化分布函數(shù) ? x 來表示 x， 從而 X ? D。 ?x?X 的 退化分布函數(shù) ? x： ??? ?????ort he rw i s e,0if,1)( zxzRzx?，? 事實上，前面的定理已表明 D為 凸集，即對任何 f, g?D 及任何 p?[0,1]，都有 p f + (1 p) g ?D。這就充分展現(xiàn)了經(jīng)濟活動的凸性表現(xiàn)的客觀必然性。 放在 抽彩情形， D是彩票集合，本已為凸集。 D的凸性會帶來方便，因而總用 D來代替 X?。 ?用 D來表示風(fēng)險選擇集合 X? 的好處在于 D是凸集合 。 (二 ) 風(fēng)險選擇集合 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 23 (二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 通過效用函數(shù) U : X ?R，可計算風(fēng)險行為 f ?D 的預(yù)期效用 EU( f )： 。這便給出了 D 上的一個實值函數(shù) EU : D ?R，它就是通常意義上的 預(yù)期效用函數(shù) 。 在集合 X 中，消費者用 U(x) 進(jìn)行評價。而前面三個事例中以及教科書中，都自然而然地認(rèn)為在風(fēng)險選擇集合 D 中，消費者用 EU( f )進(jìn)行評價。那么事實果真如此嗎？也就是說， 函數(shù) EU( f )能否作為消費者在風(fēng)險選擇集合 D上的效用函數(shù) ？ 要回答這個問題，必須從消費者在 D 上的偏好 p 出發(fā)，因為消費者的評價是依據(jù)偏好 p 進(jìn)行的。 如果 EU( f ) 能夠成為偏好關(guān)系 p 的效用函數(shù)，那么問題就得到了圓滿解決。由此可見，風(fēng)險選擇集合 D 上的偏好關(guān)系 p 是否可用預(yù)期效用函數(shù)加以表示，便成為不確定性選擇理論中的基本問題。 ?? X xfxUfEU )(d)()(風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 24 1. 風(fēng)險偏好 ?在風(fēng)險選擇環(huán)境中，理性消費者的理性體現(xiàn)依然是對任何兩種風(fēng)險行為 f, g ?D，都能作出誰優(yōu)誰差的判斷或評價：要么 f p g，要么 f ? g，要么 f ~ g，且只能作出其中一種評價。這種評價便形成了消費者的 風(fēng)險偏好 (risky preference) p ： ( f p g) ? (( f p g)?( f ~ g)) ?理性意味著 風(fēng)險偏好 p 是自反 、 完全 、 傳遞的二元關(guān)系 。 ?既然 X ? D ，風(fēng)險偏好 p 便決定了 X 上的 (確定性 )偏好 ： 對任何 x, y?X， x p y 是指 ? x p ? y?？捎? 表示由 p 確定的 X 上的偏好關(guān)系，并叫做風(fēng)險偏好 p 在 X 上的限制 。 ?定義 函數(shù) u: D?R 叫做風(fēng)險偏好 p 的 效用函數(shù) ，是指 u 滿足這樣的條件： (?f, g?D)( ( f p g) ? (u( f ) ? u(g)) )。 ?問題 ： 風(fēng)險偏好的效用函數(shù)能否用預(yù)期效用函數(shù)給出 ？ Xp(二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 25 ?從確定性選擇集合 X 上的效用函數(shù) U(x) 出發(fā)，給出的預(yù)期效用函數(shù) EU : D ?R 具有 凸線性性 ： (?f, g?D)(?p?[0,1])(EU( pf +(1 p) g) = pEU( f )+(1 p)EU(g) ) ?據(jù)此，可把預(yù)期效用函數(shù)概念加以擴大： 凡是凸線性的實值函數(shù) ， 都可叫做 預(yù)期效用函數(shù) 。即把凸線性性看作預(yù)期效用函數(shù)的基本性質(zhì)，并可稱其為 預(yù)期效用性質(zhì) 。這樣，我們就有下述定義。 ?定義 凡是具有如下性質(zhì)的函數(shù) u: D?R都叫做 預(yù)期效用函數(shù) ： (?f, g?D)(?p?[0,1])( u( pf +(1 p) g) = pu( f )+(1 p) u(g) ) 這條性質(zhì)也就叫做 預(yù)期效用性質(zhì) 。 2. 預(yù)期效用性質(zhì) 為了能夠用通常的預(yù)期效用函數(shù)來表示風(fēng)險偏好，我們先來對通常的預(yù)期效用函數(shù)的性質(zhì)作一些研究。 ))(d)()(( ?? X xfxUfEU(二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 26 3. 預(yù)期效用公理 ： ?定義 當(dāng)預(yù)期效用函數(shù) u: D ?R 成為 D 上的風(fēng)險偏好 p 的效用函數(shù)時 ， 即 (?f, g?D)( ( f p g) ? (u( f ) ? u(g) )， 就稱 u 是 p 的預(yù)期效用函數(shù) 或 預(yù)期效用表示 。 ?問題 ：風(fēng)險偏好究竟能不能用預(yù)期效用函數(shù)加以表示？即風(fēng)險偏好的預(yù)期效用函數(shù)是否存在？ ?如果這個問題能夠得到肯定的回答，那么就可以說，在風(fēng)險選擇活動中，人們是依照預(yù)期效用大小進(jìn)行選擇的。 ?為了得到了肯定的答案，人們對風(fēng)險偏好關(guān)系提出了一些公理，通稱為 預(yù)期效用公理 ，主要包括： ?阿基米德公理 ?獨立性公理 ?連續(xù)性公理 (二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 27 ?f, g, h?D， 如果 f p h p g， 則存在 p, q?(0,1) 使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 ?阿基米德公理 f h g 阿基米德公理 ?解釋 ：設(shè) f, g, h?D 且 f p h p g。 ?既然 f p g，以概率 p?(0, 1)進(jìn)行的復(fù)合行為 (1?p) f + pg 的好壞程度就應(yīng)介于 f 與 g 之間： f p (1? p) f + pg p g。 ?p 越大，采取較差行為 f 的可能性越小，采取較好行為 g 的概率越大，從而復(fù)合行為 (1?p) f + pg 越好。即： ?對 (1?p) f + pg 的評價與 p 成正比 。 ?現(xiàn)在 f p h p g，那么就應(yīng)該有某個較小的概率 p 和某個較大的概率 q ，使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 (二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 3. 預(yù)期效用公理 28 ?f, g, h?D， ?p?[0,1]， 如果 f p g，則有 (1? p) f + ph p (1? p)g + ph。 ?獨立性公理 f h g 獨立性公理 (二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 3. 預(yù)期效用公理 ?解釋 ：設(shè) f, g, h?D 且 f p g。 ?在 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph中， 以相同概率 p采取相同的行動 h，又分別以相同概率 (1?p)采取不同的行動 f 和 g。 ?如此，這兩種復(fù)合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph 究竟哪一個更優(yōu)，便完全取決于 f 與 g 哪一個更優(yōu)，而與第三種行為 h 的好壞無關(guān)。 即： ?對 (1 p) f + ph 和 (1 p) g + ph 的評價獨立于第三種行為 h 。 29 ?f, g, h?D， 集合 { p?[0,1] : (1? p) f + p g p h }和{ p?[0,1] : (1? p) f + p g ? h }都是 [0,1]的閉子集 。 ?連續(xù)性公理 f h g 連續(xù)性公理 (二 ) 預(yù)期效用函數(shù) 風(fēng)險選擇與預(yù)期效用 3. 預(yù)期效用公理 ?解釋 ：設(shè) f, g, h?D 且不妨設(shè) f p g。 ?對復(fù)合行為 (1? p) f + pg 的評價與 p 成正比： 選擇好行為 g 的概率越大 ， 復(fù)合行為越好 。由此可見： ① 由不比 h 優(yōu)的復(fù)合行為中的概