【文章內容簡介】 函數 f ( y) 把生產集合 Y 也順便表示出來，于是便提出了 廣義生產函數 的概念： ? 定義 叫做 廣義生產函數 ， 是指它滿足如下二條件 ： (1) 對任何生產活動 ， ( y ?Y ) ? ( f (y) ? 0)； (2) 對任何生產活動 ， ( y ?Fr(Y )) ? ( f (y) = 0)。 RRf ??:?Ry??Ry? 廣義生產函數必然存在。例如，定義 f ( y) 如下：對于任何生產活動 y， 當 y?Y 時，讓 f ( y) = 1；當 y?Y Fr(Y ) 時，讓 f ( y) = 1；當 y?Fr(Y ) 時，讓 f ( y) = 0。則 f 是廣義生產函數。然而，這樣給出的 f 沒有實際意義，因此通常還要對廣義生產函數提出如下假設： ? 假設 DPF(光滑性 ) 廣義生產函數 二階連續(xù)可微，并且在任何技術有效活動點處的各個一階偏導數不會同時全為零 。 RRf ??:? 若廣義生產函數 f 滿足假設 DPF， 則 (?y?Fr(Y ))( f ?( y) 0)。 (五 ) 邊際轉換率 ? 商品 h 到 k 的 邊際轉換率 MRThk ( y)，是指 在技術有效生產活動 y處 ， 若商品 h 的數量減少一單位 ， 為保證生產依然技術有效 ， 所需增加的商品 k 的數量 (這里 ，其他商品的數量保持不變 )。 利用廣義生產函數 f ，可給出邊際轉換率公式。假定在生產活動 y?Fr(Y )處 ， h 的數量減少了 d yh個單位且 k 的數量減少了 d yk 單位以后，生產活動依然技術有效。則依定義， MRThk( y) = d yk /d yh。注意， 0 = d f ( y) = f h?d yh ? fk?d yk (其他商品數量未變 )。于是，我們有 ： ),(),(dd)(yxfyxfyyyMR TMR Tkhhkhkhk ?????? 單一產品情形的 邊際產出和邊際替代率統(tǒng)一在 邊際轉換率下 。 單一產 品 時，廣義生產函數 ，其中 為單一產品生產函數。根據邊際轉換率公式，可知： ?????????????????為產品為要素而若為要素若khxMPxgkhxM R SxgxgyxfyxfyxM R Thhhkkhkhhk ),(1)(,),()()(),(),(),(? 邊際轉換率公式 RRg n ??:),()(),( RyRxxgyyxf n ?????可見，邊際替代率和邊際產出在邊際轉換率下得到了統(tǒng)一。 規(guī)模報酬不變 齊次技術 ? 齊次技術 (規(guī)模報酬不變技術 )： (?y?Y )(?t 0)( t y?Y ) 規(guī)模報酬不減技術： (?y?Y )(?t 1)( t y?Y ) 規(guī)模報酬不增技術： (?y?Y )(?0 t 1)( t y?Y ) (六 ) 幾種特點鮮明的技術 ? 凸技術 ： (?x, y?Y )(?0 t 1)( t x+(1? t) y?Y ) ? 可加技術 ： (?x, y?Y )( x + y?Y ) (4) 規(guī)模報酬不增的可加技術是凸技術。 規(guī)模報酬不減 規(guī)模報酬不增 x x x y y y (1) 凸 技術意味著 Fr(Y )是凹曲面：對任何生產活動 x, y?Fr(Y )及任何實數 t?(0, 1)，都存在 z?Fr(Y )使得 t x + (1 t) y ? z。 (2) 凸 技術意味著廣義生產函數 f (y) 在技術有效點處凸：對任何生產活動 y?Fr(Y )，都有 f ?(y) ? 0，即矩陣 f ?(y)半正定。 (3) 凸技術意味著規(guī)模報酬不增。 二、凈供給 多種產品的情形下，企業(yè)的行為準則依然是利潤最大化，企業(yè)根據這一準則來確定各種產品的供給與各種要素的需求。由于產品供給與要素需求都是以凈產出向量來表示的，因此使得企業(yè)的利潤達到最大的凈產出向量便成為企業(yè)的產品供給與要素需求，稱為企業(yè)的 凈供給 ( supply)。 關于凈供給，我們主要關注兩個問題： ? 凈供給的確定原則與利潤最大化的實現(xiàn)條件。 ? 價格變動對凈供給的影響以及有多大程度的影響。 在下面的討論中，我們將總假定生產集合 Y 具有前沿性、包容性、不免費、不可逆這四大普通特點，并假定廣義生產函數 f 滿足假設 DPF。另外，如無特殊說明，符號 Y 總代表生產集合， f 總代表廣義生產函數， p = (p1, p2,?, p?) 總代表價格體系，并假定 p 0。 (一 ) 凈供給的決定 ? 企業(yè)的目標函數： 價格體系 p 決定的 利潤函數 ? : Y ? R (?y?Y )(? ( y) = p y) ? 利潤最大化： max{? ( y) : y?Y } ? 凈供給： y* = ? ( p) ? Y . p y* = max{? ( y) : y?Y } ? 凈供給向量必在生產可能性前沿上，即 ? ( p) ? Fr(Y )。 ? 凈供給向量 y*正是等利潤線與生產可能性前沿 Fr(Y ) 的切點。 利潤為 ? 的等利潤線 L(? ) ： L(? ) = { y ? Y : p y = ? }。 確定 y* = ? ( p) 的 邊際方程 ： p = ? f ?(y*)，其中 ? 0 為拉氏乘數。 企業(yè)的目標是要選擇一種生產活動 y* ? Y 以使企業(yè)利潤達到最大，即使得 p y* = max{? ( y) : y?Y }。這個向量 y*就叫做企業(yè)在價格體系 p 下的 均衡 (向量 )，或叫做 凈供給向量 ，簡稱凈供給 ，記作 ? ( p)，即 y* = ? ( p) 。 Fr(Y ) L(? ) (等 利潤線 ) y* p Q x o 凈供給 ? 凸技術并不是對生產技術提出的苛刻要求 ， 通常都能達到這一要求。因此 ， 凈供給 y* = ? ( p) 一般都能通過邊際方程來確定 。 當價格變動時 ， y* = ? ( p) 便成為映射 ， 稱為 凈供給映射 。 這樣 ， 凈供 給映射 y* = ? ( p) 是由邊際方程 確定的隱函數關系 。 1. 利潤最大化的一階條件 這個條件能否充分呢？下述定理回答了這一問題。 ? 定理 在凸技術 Y 下 ， 對任何 y?Fr(Y )及價格向量 p 0， 若存在實數 ? 0 使得 p = ? f ?(y)， 則 y =? ( p)， 即 y 使企業(yè)利潤達到最大。 可見，在凸技術下，利潤最大化的一階必要條件還是充分的： ??????0*)(*)(yfyfp ?),2,1,(*)(*)(*)( ??????? khppyfyfyM R T khkhhk? 凸技術下，企業(yè)生產實現(xiàn)利潤最大化 當且僅當 生產活動技術有效并且任何兩種商品之間的邊際轉換率都等于相應的價格比 。 ? 邊際方程 p = ? f ?(y*)給出了實現(xiàn) 利潤最大化的 一階必要條件 ： 任何兩種商品之間的邊際轉率都等于相應的價格比 ，即 f ?( y*) 在 ?( y*) 上半正定 ，是指 。 ? 對于 y*?Fr(Y ) ， 若存在實數 ? 使得 p = ? f ?(y)， 且 f ?( y*) 在 ?( y*)上正定 ， 即 ， 則 y* = ? ( p)。 2. 利潤最大化的二階條件 在研究凈供給時，利潤最大化的二階條件往往很有用。 根據微積分知識，函數達到極大值的二階必要條件是海森矩陣半負定。由此可得利潤最大化 (也 即確定凈供給 )的 二階必要條件 ： 二階必要條件的幾何意義：在利潤最大化點 y*附近，生產可能性前沿 Fr(Y ) 位于該點處的切線 (切平面 )T(y*)的下方。 進一步，還可以得到利潤最大化的 二階充分條件 ： ? 對任何 y*?Y ， 若 y* = ? ( p)， 則 f ?( y*) 在切空間 ?( y*)上半正定 。 }0*)(*)(:{*)(1??????? ????hhh yfyyfyRyy這里， 切空間 ?( y*) 是指 ； )0*)(* ) ) ((( ?????? Tyyfyyy))0*)(()0* ) ) ( ((( ???????? Tyyfyyyy? 定義 (強擬凸性 ) 如果對任何 y?Fr(Y )， f ?( y)都在切空間 ?( y) 上正定 ， 則稱 f 是 強擬凸 的廣義生產函數 。 ? 在強擬凸技術下 ， 利潤最大化的一階必要條件也是充分的 。 (二 ) 價格變動對凈供給的影響 凈供給 ? ( p)隨 價格 p 變化而 變化的一般規(guī)律如下： ? 零階齊次性 ： ? 同向變動性 ： )0))()()(()(,( ))()()(0)(( ????? ???????qpqpRqpptptRp??????為了分析價格變動對凈供給會帶來多大的影響，假定 廣義生產函數 f 強擬凸 ，并假定價格 p 發(fā)生了變動 ，引起凈供給 y* =?( p)發(fā)生了變動 。 通過在邊際方程兩邊求全微分，即可表達清楚 d p 與 d y* 之間的關系： Tpppp )d,d,d(d 21 ???Tyyyy )d,d,d(*d 21 ???? ?????????????????????0d*)(),2,1(dd*)(d*)(11????kkkhhkkhkyyfhpyfyyf ????????????????????? ? ??? 0dd *d0*)( *))((*)( pyyf yfyfT??寫成矩陣形式，即 。我們把這個 方程叫做 凈供給基本矩陣 方程 。 1. 凈供給映射的可微性 定理 對于強擬凸的廣義生產函數 f 來說 ， 對任何 y?Fr(Y )及任何實數 ? 0， 雅克比矩陣 J = J ( y, ?) 都是可逆的對稱矩陣。 根據此定理及隱函數存在定理，即知存在唯一的映射 y* = ? ( p)滿足邊際方程并且連續(xù)可微，這個映射就是凈供給映射。 可以看出，凈供給基本矩陣方程中的 正是邊際方程 的 雅克比矩陣 J = J ( y*, ?)： ?????? ? ????? 0*)( *))((*)()*,( yf yfyfyT??JJ??????0*)(*)(yfyfp ??????? ? ??? 0*)( *))((*)(yf yfyfT??凈 供給映射的存在性與可微性 ：在強擬凸的廣義生產函數下 ， 凈供給映射 y* = ? ( p) 不但唯一存在 ， 而且連續(xù)可微。 既然 J = J ( y*, ?) 可逆，那么可把其逆矩陣 寫成如下形式： 1?J????????????? ? ???????????zzSJJ TTyfyfyfy 1110*)(*))((*)()*,(2. 凈供給變動的微分公式與替代效應 即 d y* = S d p， S = (shk)， 。 利用 求解基本矩陣方程，即可得凈供給變動的 微分公式 ： ?替代矩陣 的對稱性與半負定