m03n第三章簡單的優(yōu)化模型(編輯修改稿)
2025-06-16 22:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (10%), 則 （ 30%） ??? w 137 ?? t0)( ?? tQ每天收入的增值 每天投入的資金 4)()()()( ???? twtptwtpttwtptQ 4)()()( ??利潤 森林救火 森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量 . 隊員多，森林損失小，救援費用大； 隊員少，森林損失大，救援費用小 . 綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量 . 問題分析 問題 記隊員人數(shù) x, 失火時刻 t=0, 開始救火時刻 t1, 滅火時刻 t2, 時刻 t森林燒毀面積 B(t). ? 損失費 f1(x)是 x的減函數(shù) , 由燒毀面積 B(t2)決定 . ? 救援費 f2(x)是 x的增函數(shù) , 由隊員人數(shù)和救火時間決定 . 存在恰當?shù)?x，使 f1(x), f2(x)之和最小 . ? 關鍵是對 B(t)作出合理的簡化假設 . 問題分析 失火時刻 t=0, 開始救火時刻 t1, 滅火時刻 t2, 畫出時刻 t森林燒毀面積 B(t)的大致圖形 . t1 t2 0 t B B(t2) 分析 B(t)比較困難 ,轉而討論單位時間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度 ). 模型假設 3） f1(x)與 B(t2)成正比，系數(shù) c1 (燒毀單位面積損失費） 1） 0?t?t1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) ? (火勢蔓延速度 ). 2） t1?t?t2, ? 降為 ??x (?為隊員的平均滅火 速度 ). 4）每個 隊員的單位時間滅火費用 c2, 一次性費用 c3 . 假設 1）的解釋 ? r B 火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比 . 面積 B與 t2 成正比 dB/dt與 t 成正比 ?? ???xbtt1222 0()d ddt BB t tt? ?模型建立 dtdBb 0 t1 t ?t2 ?? ?x假設 1） ,1tb ??xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( ????目標函數(shù) —— 總費用 )()()(21 xfxfxC ??假設 3） 4） ??????xttt 112假設 2） )(222212212???????? xttbt0ddCx ?xcxxtcxtctcxC3122121211)(22)( ?????????????模型建立 目標函數(shù) —— 總費用 模型求解 求 x使 C(x)最小 231221122?????ctctcx ???結果解釋 ? ? /? 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù) dtdBb 0 t1 t2 t ? ?? ?x其中 c1,c2,c3, t1, ? ,?為已知參數(shù) 模型應用 c1,c2,c3已知 , t1可估計 , c2 ?? x? c1, t1, ? ? ? x? c3 ,? ? ? x ? 結果解釋 23 1221122?????ctctcx ???c1~燒毀單位面積損失費 , c2~每個 隊員單位時間滅火費 , c3~每個 隊員一次性費用 , t1~開始救火時刻 , ?~火 勢蔓延速度 , ?~每個 隊員平均滅火 速度 . 為什么 ? ? ,?可 設置一系列數(shù)值 由模型決定隊員數(shù)量 x 最優(yōu)價格 問題 根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大 . 假設 1）產(chǎn)量等于銷量，記作 x. 2）收入與銷量 x 成正比，系數(shù) p 即價格 . 3）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù) q 即成本 . 4）銷量 x 依于價格 p, x(p)是減函數(shù) . 建模與求解 pxpI ?)(收入 qxpC ?)(支出 )()()( pCpIpU ??利潤 進一步設 0,)( ??? babpapx求 p使 U(p)最大 *0ddppUp ? ?使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格 p*滿足 **ddddp p p pICpp???最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到 pxpI ?)(qxpC ?)(bpapx ??)())(( bpaqp ???)()()( pCpIpU ??baqp22* ?? 建模與求解 邊際收入 邊際支出 結果解釋 ? q / 2 ~ 成本的一半 ? b ~ 價格上升 1單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度） ? a ~ 絕對需求 ( p很小時的需求 ) b ? ? p*? a? ? p* ? 思考：如何得到參數(shù) a, b? bpapx ??)(銷量 p ~價格 q ~成本 baqp22* ??最優(yōu)價格 血 管 分 支 背景 機體提供能量維持血液在血管中的流動 . 給血管壁以營養(yǎng) . 克服血液流動的阻力 . 消耗能量與取決于血管的幾何形狀 . 在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則 . 研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度 . 問題 模型假設 一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面 . 血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動 . 血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度 d近似與血管半徑 r成正比 . q q1 q1 A B B180。 C H L l l1 r r1 ? ? q=2q1 r/r1, ? ? 考察血管 AC與 CB, CB180。 粘性流體在剛性管道中運動 48π rpql???? p~A,C壓力差，? ~粘性系數(shù) 克服阻力消耗能量 E1 21 48πqlE q pr????提供營養(yǎng)消耗能量 E2 21,2 ??? ?? lbrE管壁內(nèi)表面積 2?rl 管壁體積 ?(d2+2rd)
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