解析的概念與c-r方程(編輯修改稿)
2025-06-15 14:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ?= ，存在 0 , 0yx? ? ? ?當(dāng) 時 ,039。( ) l im (xuvf z ixx???????? ) ，存在 , , ( , )xxu v x y故 在 點(diǎn) 處 存 在 。 且39。( ) xxf z u iv??0 , 0xy? ? ? ?同 理 當(dāng) 時 ,039。( ) l im (yuvfzi y y????????) ，存在 , , ( , )yyu v x y故 在 點(diǎn) 處 存 在 。 且39。( ) yyf z v iu??( , ) , ,x y y xx y u v u v? ? ?從 而 在 點(diǎn) 處 有 :注 :定理?xiàng)l件是必要而非充分的 證 , )( xyzf ?因?yàn)?0, , ?? vxyu所以0)0,0()0,(l i m)0,0(0 ???? xuxuuxx ),0,0(yv?0)0,0(),0(l i m)0,0(0 ???? yuyuuyy ),0,0(xv??0?0? . 0 成立柯西－黎曼方程在點(diǎn) ?z. 0 0 )( 不可導(dǎo)西－黎曼方程但在點(diǎn)滿足柯在點(diǎn)證明函數(shù)???zzxyzf例 3 , 趨于零時沿第一象限內(nèi)的射線但當(dāng) kxyz ?0)0()(??zfzf iyxxy?? ,1 ikk?? , 變化隨 k , 0 )0()(lim 0不存在故 ??? zfzfz . 0 )( 不可導(dǎo)在點(diǎn)函數(shù) ?? zxyzf 2 . 2 ( ) ( , ) ( , )()f z u x y iv x y Df z D z x iy????定 理 設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 有定 義 ， 則 在 內(nèi) 一 點(diǎn) 可 微 的 充 要 條 件 是1 ( , ) , ( , ) ( , )u x y v x y x y、 二 元 函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 微 。2 ( , ) ( , ) ( , ) u x y v x y x y、 和 在 點(diǎn) 滿 足 柯 西 黎 曼 方 程 ., ( )f z z x y i??上 述 條 件 滿 足 時 在 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù) 可 以 表 為下 列 形 式 之 一39。( ) uvxxf z i????vvyxi????uuxyi????vuyyi????()證 (1) 必要性 . , )( , ),(),()( 可導(dǎo)內(nèi)一點(diǎn)在且內(nèi)定義在區(qū)域設(shè)yixzDzfDyxivyxuzf???? 0, ?????? yixz則對于充分小的,)()()()( zzzzfzfzzf ????????? ?有,0)(l i m 0 ???? zz ?其中,)()( viuzfzzf ???????令,)( ibazf ??? , )( 21 ??? iz ??????? viu 所以)( iba ? )( yix ???? )( 21 ?? i?? )( yix ????)()(1221yxyaxbiyxybxa????????????????????, 21 yxybxau ????????? ??于是.12 yxyaxbv ????????? ??,0)(lim 0 ???? zz ?因?yàn)?100lim ?????yx所以 200lim ??? ???yx,0? , ),( ),( ),( 可微在點(diǎn)與由此可知 yxyxvyxu. , xvyuyvxu ???????????且滿足方程(2) 充分性 . ???? )()( zfzzf)],(),([),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu???????????,viu ????由于 , ),( ),( ),( 可微在點(diǎn)與又因?yàn)?yxyxvyxu, 21 yxyyuxxuu ????????????? ??于是, 43 yxyyvxxvv ????????????? ??)4,3,2,1( ,
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