函數(shù)的概念解析式及定義域(編輯修改稿)
2025-05-26 04:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( x －13)( a 0 ) ， 則 f ( 1 ) ＋ 2 ＝ a (1 ＋ 1 ) ( 1 －13) ，即 a ＝32， ∴ f ( x ) ＝32x2＋ x －52. ( 2 ) ∵ f ( x ＋1x) ＝ ( x ＋1x)2－ 2 ， 令 x ＋1x＝ t ( t ≤ － 2 或 t ≥ 2) ， ∴ f ( t ) ＝ t2－ 2( t ≤ － 2 或 t ≥ 2) ， 即 f ( x ) ＝ x2－ 2( x ≤ － 2 或 x ≥ 2) ． ( 3 ) ∵ 3 f ( x ) ＋ 5 f (1x) ＝2x＋ 1 ① ∴ 3 f (1x) ＋ 5 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ② ② 5 － ① 3 得： f ( x ) ＝58x －38 x＋18( x ≠ 0) ． 【 點評 】 根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法 、 換元法 、 配湊法 、 賦值法 、 解方程組法等 ． (1)當所求函數(shù)的解析式的形式已知 (如二次函數(shù) 、 指數(shù)函數(shù)等 )常用待定系數(shù)法 ． (2)已知 f[g(x)]的表達式 ， 求 f(x)的表達式 ， 常用配方法或換元法 ． (3)由簡單的函數(shù)方程求函數(shù)的表達式 ， 常用賦值法及解方程組法 ． 四、分段函數(shù)問題 例 4 已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為 10 萬元，每生產(chǎn) 1 千件需另投入 2 . 7 萬元，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝 x 千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為 R ( x ) 萬元． 且 R ( x ) ＝????????? 1 0 . 8 －130x2? 0 x ≤ 10 ?1 0 8x－1 0 0 03 x2? x 1 0 ?) . (1)寫出年利潤 W(萬元 )關(guān)于年產(chǎn)量 x(千件 )的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時 ， 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大 ？ (注：年利潤＝年銷售收入－年總成本 )． 【解析】 ( 1 ) 當 0 x ≤ 10 時， W ＝ xR ( x ) － ( 1 0 ＋ 2 . 7 x )＝ 8 . 1 x －x330－ 10 ， 當 x 1 0 時， W ＝ xR ( x ) － ( 1 0 ＋ 2 . 7 x ) ＝ 98 －1 0 0 03 x－2 . 7 x ∴ W ＝????????? 8 . 1 x －x330－ 10 ，0 x ≤ 1098 －1 0 0 03 x－ 2 . 7 x ，x 1 0) . ( 2 ) ① 當 0 x ≤ 10 時，由 W ′ ＝ 8 . 1 －x210＝ 0 得 x ＝ 9 ， 當 x ∈ ( 0 , 9 ) 時， W ′ 0 ； 當 x ∈ ( 9 , 1 0 ] 時， W ′ 0 ； ∴ 當 x ＝ 9 時， Wma x＝ 8 . 1 9 －130 93－ 10 ＝ 3 8 . 6 ， ② 當 x 1 0 時， W ＝ 98 － (1 0 0 03 x＋ 2 . 7 x ) ≤ 98 －21 0 0 03 x 2 . 7 x ＝ 38 ， 當且僅當1 0 0 03 x＝ 2 . 7 x ，即 x ＝1 0 09時， W ma x ＝ 38. 綜合 ①② 知當 x ＝ 9 時， W ma x ＝ 3 8 .6 萬元． 故當年產(chǎn)量為 9 千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大． 【 點評 】 分段函數(shù)問題一般分段求解，其定義域和值域是各段的并集． 〔 備選題 〕 例 5已知定義域為 R的函數(shù) f(x)滿足 f(f(x)－x2＋ x)＝ f(x)－ x2＋ x. (1)若 f(2)＝ 3， 求 f(1)；又若 f(0)＝ a， 求 f(a)； (2)設(shè)有且僅有一個實數(shù) x0， 使得 f(x0)＝ x0， 求函數(shù) f(x)的解析表達式 ． 【 解析 】 (1)因為對任意 x∈ R， 有 f(f(x)－ x2＋ x)＝ f(x)－ x2＋ x， 所以 f(f(2)－ 22＋ 2)＝ f(2)－ 22＋ 2. 又由 f(2)＝ 3， 得 f(3－ 22＋ 2)＝ 3－ 22＋ 2， 即 f(1)＝ 1. 若 f(0)＝ a， 則 f(a－ 02＋ 0)＝ a－ 02＋ 0， 即 f(a)＝ a. (2)因為對任意 x∈ R， 有 f(f(x)－ x2＋ x)＝ f(x)－ x2＋ x. 又因為有且只有一個實數(shù) x0， 使得 f(x0)＝ x0. 所以對任意 x∈ R， 有 f(x)－ x2＋ x＝ x0. 在上式中令 x＝ x0， 有 f(x0)－ x＋ x0＝ x0， 又因為 f(x0)＝ x0， 所以 x0－ x＝ 0， 故 x0＝ 0或 x0＝ 1. 若 x0＝ 0， 則 f(x)－ x2＋ x＝ 0， 即 f(x)＝ x2－ x. 但方程 x2－ x＝ x有兩個不同實根 ， 與題設(shè)條件矛盾 ， 故 x0≠0. 若 x0＝ 1， 則有 f(x)－ x2＋ x＝ 1， 即 f(x)＝ x2－ x＋ 1. 易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件 ． 綜上 ， 所求函數(shù)為 f(x)＝ x2－ x＋ 1(x∈ R)． 【 點評 】 本題是一道函數(shù)綜合題，主要考查函數(shù)與方程的思想及解析式
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