西北工大計算方法第一章(編輯修改稿)
2025-06-15 01:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1*=, x2*= 31*1 102 0 0 5 ?????? ?xx41*2 10210 0 0 0 0 4 ?????? ?xx3位有效數(shù)字，非有效數(shù) 4位有效數(shù)字，有效數(shù) ? Remark1: 有效數(shù)的誤差限是末位數(shù)單位的一半，可見有效數(shù)本身就體現(xiàn)了誤差界。 ? Remark2: 對真值進行四舍五入得到有效數(shù)。 ? Remark3:準確數(shù)字有無窮多位有效數(shù)字。 ? Remark4: 從實驗儀器所讀的近似數(shù)（最后一為是估計位）不是有效數(shù)，估計最后一位是為了確保對最后一位進行四舍五入得到有效數(shù)。 – 例 從最小刻度為厘米的標尺讀得的數(shù)據(jù) ,讀得數(shù)據(jù) 。 ?絕對誤差與相對誤差 nmxe ??? 10)( 21*? 定理 ： 10 若 x*具有 n 位有效數(shù)字，則相對誤差 n1110x21 ???*re； 20 若相對誤差 n1110)1x(21 ????*re，則 x*至少具有 n 位有效數(shù)字。 ?絕對誤差與有效數(shù)字 ?相對誤差與有效數(shù)字 )(/)( *** xexxe r?定理證明 nm1021 ?????****r xxee n11nm11m 10x21101021 ?? ??????x o1o2)1(1010)1x(2 1 11mn11???????? ? xxee **r* nm1021 ??? 證畢 ,10)1(10 11*11 ?? ????? mm xxx? nmxe ??? 1021)( *Remark ? 該定理實質(zhì)上給出了一種求相對誤差限的方法。 ? 僅從 并不能保證 x*一定具有 n位有效數(shù)字。如 設其近似值 a=，其相對誤差為： 我們并不能由此斷定 a有兩位有效數(shù)字，因為 nr xe??? 11* 10214 9 0 i n ??? ?A211042 1 2 3 9 ???????20212 ???????? aA例題 為使 5?x 的近似值 x * 的相對誤差不超過 1% ，問查開方表時至少要取幾位有效數(shù)字？ 設近似數(shù) x * 保留 n 位有效數(shù)字可滿足題設要求 . 解： 對于 5?x ，有 x 1 = 2 . 依據(jù)定理 1 o 有 n1n11*r 104110x21e ?? ???? 令 1 n1?? ? ，解得 2 . 4n ? . 取 n= 3 位有效數(shù)字。 三、數(shù)值運算的誤差估計 ? 概念 ：近似數(shù)參加運算后所得之值一般也是近似值，含有誤差，將這一現(xiàn)象稱為 誤差傳播 。 ? 誤差傳播的表現(xiàn)： – 算法本身可能有截斷誤差； – 初始數(shù)據(jù)在計算機內(nèi)的浮點表示一般有舍入誤差； – 每次運算一般又會產(chǎn)生新的舍入誤差，并傳播以前各步已經(jīng)引入的誤差； – 誤差有正有負，誤差積累的過程一般包含有誤差增長和誤差相消的過程，并非簡單的單調(diào)增長； – 運算次數(shù)非常之多，不可能人為地跟蹤每一步運算 。 ?初值誤差傳播：假設每一步都是準確計算，即不考慮截斷誤差和由運算進一步引入的舍入誤差，僅介紹初始數(shù)據(jù)的誤差傳播規(guī)律。 – 研究方法： ?泰勒（ Taylor）方法 – n元函數(shù) 復習泰勒公式 ? ? ??????? ))(())((!11)()( ***11*1* nnn xxpfxxpfpfpf ?記點 ),( **2*1 nxxx ? 為 p * , 點 ),( 21 nxxx ? 為 p ， n 元泰勒公式 ： ???????????????????????????211122211222111121111 21)xx
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