【文章內(nèi)容簡介】 f 的極 小 值是 0)0( ?f ； 81?x 是函數(shù) )(xf 的極 大 值點 ， )(xf 的極 大 值是 4)8( ?f 。 (三 ) 求函數(shù)的最值 函數(shù)極值與最值的差別與聯(lián)系： 極值是函數(shù)在極值點的某個領(lǐng)域內(nèi)而言的局部概念，它必須在區(qū)間的內(nèi)點取得；而最值是函數(shù)在整個區(qū)間 上 而言的全局性概念 ，它可以在區(qū)間的內(nèi)點取得（則它必是極值點），也可以在區(qū)間的端點處取得。 函數(shù)最值的求法： 主要是在以下三點中求得 i. 駐點 ii. 導(dǎo)數(shù)不存在的點 iii. 區(qū)間端點 例 求下列函數(shù)指定區(qū)間上的最大值和最小值： 1) 593)( 23 ???? xxxxf ， ]4,4[??x 第 17 頁 共 42 頁 (四 ) 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的作用 重點內(nèi)容 1) 需求價格彈性 ： )(39。)( pqpq pE p ?? 經(jīng)濟(jì)含義 ： 當(dāng)某種商品的價格下降（或上升） %1 時，其需求量將增加（或減少） %pE，亦即某種商品的 需求量對價格變化的敏感程度。 需求價格彈性的 性質(zhì) ： a) 1?pE時稱為 單位彈性 ， 經(jīng)濟(jì)含義：商品需求量的相對變化 =價格的相對變化。 b) 1?pE時稱為 富有 彈性 ， 經(jīng)濟(jì)含義：商品需求量的相對變化 價格的相對變化基本相等。采取措施： 適當(dāng) 降價會使需求量較大幅度上升，從而增加收入。 c) 1?pE時稱為 缺乏 彈性 ， 經(jīng)濟(jì)含義：商品需求量的相對變化 價格的相對變化基本相等。 采取措施：適當(dāng)漲價不會使需求量較大幅度下降，從而增加收入。 例題選講： 設(shè)某種商品的需求函數(shù)為 )80(,2150)( 2 ???? pppq 1) 求需求彈性 。 2) 討論價格為多少時，彈性分別為單位彈性、缺乏彈性、富有彈性？ 2) 邊際與邊際分析 : ? 邊際成本 MC: )(39。 qCMC? ? 邊際收入 MR: )(39。 qRMR? ? 邊際利潤 ML: )(39。 qLML? 3) 經(jīng)濟(jì)分析中的最大值與最小值 重點內(nèi)容 例 1． 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 x 個單位時的成本函數(shù)為： xxxC 0 0)( 2 ??? （萬元） , 求：（ 1）當(dāng) 10?x 時的總成本、平均成本和邊際成本； （ 2）當(dāng)產(chǎn)量 x 為多少時，平均成本最??？ 解 （ 1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： xxxC 0 0)( 2 ??? , )( ??? xxxC ， )( ??? xxC 所以， 1 8 0 0)10( 2 ??????C , )10( ?????C ， )10( ?????C （ 2）令 )(2 ????? xxC，得 20?x （ 20??x 舍去） 因為 20?x 是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當(dāng) ?x 20 時，平均成本最小 . 例 2． 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+（元），單位銷售價第 18 頁 共 42 頁 格為 p = （元 /件）， 求 : 1) 該產(chǎn)品的邊際收入、邊際利潤函數(shù)。 2) 產(chǎn)量為多少時可使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少 . 解 1） 由已知 )( qqqqqpR ????? ， 利潤函數(shù)222 qqqqqqCRL ?????????? 則 邊際收入 qqRMR )(39。 ???? ，邊際利潤 qL ??? ， 2)令 ???? qL ，解出唯一駐點 250?q .因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為 250件時可使利潤達(dá)到最大，且最大利潤為 ： )250( 2 ?????????L （元） 例 3． 某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件的成本函數(shù)為 9 8 0 )( 2 ??? qqqC （元） .為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為 多少？ 解： 因為 Cq() =Cqq( )=0 5 36 9800. qq? ? （ q?0 ） , ?Cq( ) =( . )0 5 36 9800qq? ? ?=05 98002. ? q 令 ?Cq( ) =0，即 0 5 98002. ? q=0，得 q1 =140， q2 = 140（舍去） . q1 =140 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函數(shù) Cq() 的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為 140 件 . 此時的平均成本為 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. ? ? ?=176 （元 /件） 例 4． 某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為 2021 元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為 60 元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為 q p? ?1000 10 （ q 為需求量， p 為價格）．試求： （ 1）成本函數(shù)，收入函數(shù)； （ 2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？ 解 :（ 1）成本函數(shù) Cq() = 60q +2021． 因為 q p? ?1000 10 ，即 p q? ?100 110 ， 所以 收入函數(shù) Rq() =p ? q =(100 110? q )q =100 110 2q q? ． （ 2）因為利潤函數(shù) Lq( ) =Rq() Cq() =100 110 2q q? (60q +2021) = 40q 1102q 2021 且 ?Lq( ) =(40q 1102q 2021?) =40 令 ?Lq( ) = 0，即 40 = 0，得 q = 200，它是 Lq( ) 在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以， q = 200 是利潤函數(shù) Lq( ) 的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為 200 噸時利潤最大． 第 19 頁 共 42 頁 第五章 不定積分與定積分 第一節(jié) 不定積分的定義 (一 ) 基本知識： 1. 原函數(shù)的概念 ： 若 )()(39。 xfxF ? ，則稱 )(xF 為 )(xf 的原函數(shù) 2. 不定積分的定義 ： 若 )(xf 在區(qū)間 D 上存在原函數(shù) )(xF ，則稱 )(xf 為可積函數(shù)，并將 )(xf 的全體原函數(shù)記為 ? dxxf )( ，稱它是 )(xf 的不定積分，且： cxFdxxf ??? )()( （ c 稱為積分常數(shù) ， x為積分變量。 ） 注意 ： 求不定積分的最后結(jié)果一定要加上積分常數(shù)。 3. 經(jīng)濟(jì)分析中的基本應(yīng)用 ：由邊際函數(shù)求成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù) (二 ) 知識運用 ： 例 求下列函 數(shù)的全體原函數(shù) )(xF ： 1) 12)( ?? xxf 2) xexf 22)( ? 3) xxxf sin)( ?? 4) xxxf 1)( ?? 5) 211)( xxxf ?? 例 經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某產(chǎn)品的邊際成本可由函數(shù) 32?q 給出，其中 q是產(chǎn)量數(shù)，已知生產(chǎn)的固定成本為 2，求生產(chǎn)成本函數(shù)。 解： 設(shè)所求生產(chǎn)成本函數(shù)為 )(qC ，由題設(shè)， 32)(39。 ?? qqC ， 由不定積分的定義知： 是積分常數(shù)）（ 002 ,3)32()( ccqqdqqqC ? ????? 又依題意，固定成本為 2，即當(dāng)產(chǎn)量 0?q 時， 22)0( 0 ??? cC 因此，生產(chǎn)成本函數(shù)為： 23)( 2 ??? qqqC 第二節(jié) 積分基本公式 與積分的基本方法 第 20 頁 共 42 頁 (一 ) 基本知識： 求導(dǎo)運算與求不定積分運算之間的關(guān)系 ：互逆運算 求導(dǎo)數(shù) ?? ??互逆 求不定積分 求導(dǎo)公式 ?積分公式 ?? ?? )()(39。)()39。)(( xfdxxfxfdxxf 例 1． ?? ? xx ded 2 。 答案： xxde 2? 2． __________________d)c o s( ??? xx 。 答案： cx?cos 3. 若 cxxxf x ???? 32d)( ，則 ?)(xf .答案： 32ln2 ?x 基本公式 ： ? ??? cdxc 00)( 39。 ， 1139。 11)( ?? ? ???? ???? ?? xdxxxx ， xxaxxa1)39。(lnln1)39。(log??cxdxx ??? ? ln1 caadxaaaa xxxx ???? ? lnln)39。( cedxeee xxxx ???? ?)39。( ? ???? cxx d xxx s inc osc os)39。( s in ? ?????? cxx d xxx c o ss ins in)39。( c o s ? ???? cxdxxxx t a nc os 1c os 1)39。( t a n22 ? ?????? cxdxxxx c o ts in 1s in 1)39。( c ot22 4. 積分的加減與數(shù)乘運算 性質(zhì) ： ? ? ???? dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ? ? ?? 0,)()( kdxxfkdxxkf (二 ) 積分的三種基本方法 第 21 頁 共 42 頁 直接積分法 ： 主要是利用 積分性質(zhì) 和 積分公式 求不定積分的方法 例 求下列不定積分 1) ? ? dxxx )2( 32 2) ? ?? dxxxx )sin1( 3) ? ? dxx 23 2 )1( 4) ? ? dxe xx )23( 湊微分法（第一換元法） ： （ 1） 換元 ，使 函數(shù) 變量 與積分變量 一致 （ 2） 還原，得出原函數(shù)的積分結(jié)果 cxuFxudxufdxxf ???? ? ))(())(())(()( 11 還原換元 例 求下列不定積分 1) ? ? dxx 13 1 解： cxxdxxdxdxx ?????????? ?? ? 13ln31)13(13 131)13( 113 1 2) ? ? dxxx 21 解： cxxdxxdxdxxx ????????????? ??? 232221222122 )1(31)1()1()21()1()21()1(1 3) ?? dxxx 1 ，原式變?yōu)椋?，則解：令 11 2 ???? txtxcxxcttdtttdttdxx x ?????????????? ??? 21323222 )1(21)1(322132)12()1(11 4) ? ? dxee xx 4)1( 解： ceededxee xxxxx ???????? ? 544 )1(51)1()1()1( 5) ? dxx x21sin 第 22 頁 共 42 頁 解： cxxdxdxx x ???? ?? 1c os11s in1s in2 注： )1(d)d1(2 xxx ?? 6) ? xxx de21 解： ??? ????? )1d(e)d1(ede 12121xxxxx xxx cx ??? 1e 注： )1(d)d1(2 xxx ?? 7) ?? xxx dln1 1 注： )1(d)d1(2 xxx ?? 解： )d ( lnln1 1d1ln1 1dln1 1 ??? ????? xxxxxxxx= ???? )lnd (1ln1 1 xx cx ??ln12 8) dxxx?ln 注： nxdd1 lxx ? 解： cxxxddxxxdxx x ???? ? ?? 2)( ln21lnln)39。( lnlnln 9) ? xxx dsin 解 ： ??? ?? xxxxxxx x ds in2d2 1s in2ds in= cx ?? cos2 注： xxd21= xd 分部積分法 ： 由于 39。39。)39。( uvvuuv ?? ，兩邊積分得： ? ??? dxuvvdxuuv 39。39。 ? ??? )()()()()(39。)( xduxvxvxudxxvxu ? ??? )()()()()()( xduxvxvxuxdvxu 注意 ： 分部積分法的關(guān)鍵是： ） f