【正文】 四、例題選講： 例 解線性方程組???????????????????????442137432423323524321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解：方程組的增廣陣為????????????????414211374324121332352下面將其化為行簡化階梯形陣： ???????????????????????????????????。 行簡化階梯形矩陣：若階梯形矩陣矩陣滿足下列條件 1) 各非 0行的第一個不為 0的元素（首非 0 元素）都是 1； 2) 所有首非 0 元素所在列的其余元素都為 0。 方程組的特解 ： 在一般解中，自由未知量都取 0時所得方程組的解稱為方程組的特解。該未知量稱為自由未知量。 方程組的 0 解與非 0解： 顯然， 有序數(shù)組 )0,0,0,0( ? 是齊次線性方程組的一個解，此時稱這個解為方程組的 0解（或平凡解），稱未知量不全為 0 的解為方程組的 非 0 解 。 （ 0501） 答案： （ 0507） 答案： 第 35 頁 共 42 頁 （ 0707） （ 0901） （ 0801） （ 0901） 答案 ： 矩陣方程的解法 ： （ 1） AX＝ B解法 ： 若 A可逆 ， A1存在 A1A＝ I A1AX＝ A1B 則 X＝ A1B （ 2） XA＝ B解法 ： 若 A可逆 A1存在 A A1＝ I XAA1＝ BA1 則 X＝ BA1 （ 0501） （ 0807） （ 0907） 答案 ： （ 1001） 答案： X= 第 36 頁 共 42 頁 本章知識綜合考查 真 題 （ 0501） （ 0607） 答案： （ 0707） （ 060 060 0807 三次真題 ） （ 0901） （ 1001） 第 37 頁 共 42 頁 第二章：線 性方程組 第一節(jié)： n 元線性方程組 的有關概念及其高斯消元法 一、 n 元線性方程組的有關概念： ????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????22112222212111212111 n 元線性方程組：由 n個未知數(shù)， m 個 線性 方程組成的方程組 ； 齊次線性方程組： 0321 ????? mbbbb ?時， 方程組 稱為齊次線性方程組； 非齊次線性方程組： 時不全為、 0321 mbbbb ? ， 方程組 稱為非齊次線性方程組。 即： 若 A 為滿秩矩陣 ，則總存在初等矩陣 nPPP ， ?21 使得： IAPPP n ??21 。 ? )()( TArAr ? ? 任何滿秩矩陣都能經(jīng)過初等變換化成單位矩陣 規(guī)定零矩陣 O 的秩為 O，即 r（ 0）＝ O （ 0507） （ 0701） （ 0801） 第 34 頁 共 42 頁 第五節(jié)： 可逆矩陣與逆矩陣 可逆矩陣與逆矩陣的定義： 對于 n 階方陣 A，如果有 n 階方陣 B 使得 IBAAB ?? ，則稱矩陣 A 可逆，稱 B為 A 的逆矩陣，記為 1?A 。 2) 滿秩矩陣 : 設 A是 n階矩陣，若秩（ A）＝ n，則稱 A 為滿秩矩陣，或非奇異 或非退化的矩陣。 具體求法是：在矩陣 A 中，從上到下，逐行把每行中第一個非零元下的元素化為零，便得 A的階梯形矩陣。 （ 2）如果矩陣有 O行（元素全為 O的行）在矩陣最下方。 （ 3）倍加變換：將矩陣的某一行遍乘一個常數(shù) K 加到另一行上。 （ 0801） （ 0607） 第四節(jié)： 矩陣的初等行變化和矩陣的秩 矩陣初等行變換是指： （ 1）對換變換：互換矩陣某兩行的位置。 對稱矩陣 的定義與簡單性質(zhì)： 定義： 若矩陣 A滿足 AAT? ，則稱 A為對稱矩陣。 簡單性質(zhì)： ? 兩個同階上（下）三角陣的和、數(shù)乘、乘積仍為上（下）三角陣。 ? A 為對角陣，則 AAT? 三角矩陣 的定義與簡單性質(zhì)： ? 上三角矩陣： 主對角線下方的元素都是 0的方陣稱為上三角矩陣。 ? 數(shù)與對角陣的乘積仍是對角矩陣。A或TA 。 矩陣的乘法運算性質(zhì) ： 1) 結合律 （ AB） C=A(BC) 2) 數(shù)乘結合律： )()()( BABAAB ??? ?? 3) 分配律： ACABCBA ??? )( (左分配律 ) CABAACB ??? )( (右分配律 ) 4） 單位運算：對于單位矩陣 I，有 nmnnmnmnmm AIAAAI ???? ?? ， 5） 乘 冪運算：規(guī)定 IA?0 ， nmnm AAA ??))(( ， mnnm AA ?)( 注意 ：矩陣的乘法運算不滿足 交換律 ， 消去律 。 （ 0807） 答案： A,B 為同階矩陣 例 某班級同學三次 競賽參賽 人數(shù)分別為： 第一次： 3 第 30 頁 共 42 頁 第二次： 4 第三次： 3 三次考試各門平均成績分別為： 語文： 90 85 80 數(shù)學： 100 80 90 英語： 70 75 70 計算各次考試三門課的總分情況。 例 設 BABABABA 2)32)2)1,410 722,120 421 ????????? ????????? ?? ；；求： 例 求矩陣 X，使得 ??????????????? ? 21 314213 01 X 矩陣的乘法 ： 設矩陣 nsijsmij bBaA ?? ?? ][,][ ，則稱 nm? 矩陣 nmijcC ?? ][ 為Ａ與Ｂ的乘積，其中 ?? ???????sk kjiksjisjijiij njmibabababac 12211 ),3,2,1,3,2,1(, ??? ； 注意 ： 1） 只有 左邊矩陣的列數(shù) =右邊矩陣的行數(shù) 時 ， 兩個矩陣才能做矩陣乘法運算； 2） 矩陣乘積仍是矩陣，乘積矩陣的行數(shù)是左邊矩陣的行數(shù)列數(shù)是右邊矩陣的列數(shù)。 第 29 頁 共 42 頁 第二節(jié)： 矩陣的運算 矩陣的相等： 若兩個矩陣 qpijnmij bBaA ?? ?? ][][ ， 滿足： 1) 行、列數(shù)分別相等，即 qnpm ?? , ； 2) 對應元素相等，即 ijij ba ? 則稱兩個矩陣相等，記為 BA? 矩陣的加法 ： 設 ][][ ijij bBaA ?? ， 都是 nm? 矩陣，且 ijijij bac ?? ，則 BAC ?? 注意 ：只有同型矩陣才能做加法運算。 零矩陣、負矩陣與單位矩陣： 零矩陣 ：所有元素都為 0 的矩陣稱為零矩陣，記作 nm?0 或 0 負矩陣： 在 矩陣 nmA? 的每個元素前面都添加一個負號得到的矩陣稱為 nmA? 的負矩陣，記作 A。 ? 當 nm? 時，矩陣形式為????????????nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211，此時稱之為 n階 矩陣或 n階 方陣。 行矩陣 、 列矩陣 與 n 階矩陣 ： ? 當 1?m 時，矩陣形式為 ? ?naaa 11211 ? ，此時稱之為行矩陣。 其中每個數(shù)都成為矩陣的一個元素。 例 求下列定積分： 第 25 頁 共 42 頁 1) dxxx? ?20 21 2) dxe x? ?10 2 3) dxx 921 )1(? ? 4) dxx xe? ?1 ln1 5) ??10 21 dxxx 3) 分部積分法。 例 求下列定積分： 1) dxx??11 2 2) dxxx? ?41 2 3) dxx? ?20 1（分段積分） 解：??? ?? ????? 1,1 1,11)( xx xxxxf 4) 于是 1)2()2()1()1(1212102102120 ?????????? ? ?? xxxxdxxdxxdxx 2) 換元積分法。u dxv? (+) 39。 ? ??? )()()()()(39。( uvvuuv ?? ，兩邊積分得： ? ??? dxuvvdxuuv 39。39。( c ot22 4. 積分的加減與數(shù)乘運算 性質(zhì) ： ? ? ???? dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ? ? ?? 0,)()( kdxxfkdxxkf (二 ) 積分的三種基本方法 第 21 頁 共 42 頁 直接積分法 ： 主要是利用 積分性質(zhì) 和 積分公式 求不定積分的方法 例 求下列不定積分 1) ? ? dxxx )2( 32 2) ? ?? dxxxx )sin1( 3) ? ? dxx 23 2 )1( 4) ? ? dxe xx )23( 湊微分法（第一換元法） ： （ 1） 換元 ，使 函數(shù) 變量 與積分變量 一致 （ 2） 還原，得出原函數(shù)的積分結果 cxuFxudxufdxxf ???? ? ))(())(())(()( 11 還原換元 例 求下列不定積分 1) ? ? dxx 13 1 解： cxxdxxdxdxx ?????????? ?? ? 13ln31)13(13 131)13( 113 1 2) ? ? dxxx 21 解： cxxdxxdxdxxx ????????????? ??? 232221222122 )1(31)1()1()21()1()21()1(1 3) ?? dxxx 1 ，原式變?yōu)椋?，則解：令 11 2 ???? txtxcxxcttdtttdttdxx x ?????????????? ??? 21323222 )1(21)1(322132)12()1(11 4) ? ? dxee xx 4)1( 解： ceededxee xxxxx ???????? ? 544 )1(51)1()1()1( 5) ? dxx x21sin 第 22 頁 共 42 頁 解： cxxdxdxx x ???? ?? 1c os11s in1s in2 注： )1(d)d1(2 xxx ?? 6) ? xxx de21 解： ??? ????? )1d(e)d1(ede 12121xxxxx xxx cx ??? 1e 注： )1(d)d1(2 xxx ?? 7) ?? xxx dln1 1 注： )1(d)d1(2 xxx ?? 解： )d ( lnln1 1d1ln1 1dln1 1 ??? ????? xxxxxxxx= ???? )lnd (1ln1 1 xx cx ??ln12 8) dxxx?ln 注： nxdd1 lxx ? 解： cxxxddxxxdxx x ???? ? ?? 2)( ln21lnln)39。( c o s ? ???? cxdxxxx t a nc os 1c os 1)39。( ? ???? cxx d xxx s inc osc os)39。(log??cxdxx ??? ? ln1 caadxaaaa xxxx ???? ? lnln)39。 11)( ?? ? ???? ???? ?? xdxxxx ， xxaxxa1)39。 答案： cx?cos 3. 若 cxxxf x ???? 32d)( ，則 ?)(xf .答案： 32ln2 ?x 基本公式 ： ? ??? cdxc 00)( 39。)(( xfdxxfxfdxxf 例 1． ?? ? xx ded 2 。 ?? qqC ， 由不定積分的定義知： 是積分常數(shù)）