國家集訓隊2006論文集李天翼(編輯修改稿)
2025-06-07 00:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 r|X+Y(2)r|X+qY(3)r|pX+qY(p,q,r均為待定整數(shù)， r≠ 0)。 ?通過對 簡單 情況的驗證，易知前兩種假設(shè)是錯誤的。對于最后一種假設(shè)，由于參數(shù)比較多，一時難以判斷其是否正確。 問 題 二 回歸二維情況 ?設(shè) S(p,q,r)為所有滿足 r|pX+qY(p,q,r均為整數(shù)， r≠ 0)的點的集合。 ?考慮猜想：對于不退化的二維情況（即騎士所能夠到達的點，不全在一條直線上），存在整數(shù) p,q,r， r≠ 0，滿足騎士的可行點集與S(p,q,r)相同。 問 題 二 猜想 ?由于 n的上限是 100，比較大，可以先考慮比較簡單 的 n=2(n=2是最小的非退化情況 )。可以用數(shù)學歸納法證明，只需要討論 n=2。 ?證明要點： 假設(shè)只有前 k種移動的騎士的可行點集與S(p,q,r0)相同，設(shè) r=(pak+1+qbk+1,r0)那么有全部 k+1種移動的騎士的可行點集與 S(p,q,r)相同。 問 題 二 猜想的簡化 ?假設(shè)當 n=k（ k為任意正整數(shù)）時猜想成立，當n=k+1時，設(shè)只有前 k種移動的騎士的可行點集與 S(p,q,r0)相同。則對有全部 k+1種移動的騎士而言， (X,Y)是他的可行點的充要條件是 : 存在整數(shù) m滿足 p(Xmak+1)+q(Ymbk+1) ≡ 0(mod r0)。 ?上式等價于 (pak+1+ qbk+1)m≡ pX+qY(mod r0)?？紤]這個模線性方程，知它有解等價于 (pak+1+ qbk+1, r0)｜ pX+qY。令 r=(pak+1+qbk+1,r0)，知當 n=k+1時 ,猜想也成立。 問 題 二 對 n2的處理 ?當 n=2時，騎士只有兩種移動 (a1,b1)和 (a2,b2)。且 a1b2a2b1≠ 0（否則退化為一維情況）。 ?為了能更好地挖掘這個問題的本質(zhì)，不妨證明簡單 一點的命題 1。 ?命題 1:騎士有兩種移動 (a1,b1)和 (a2,b2)，a1b2a2b1≠ 0， a1和 a2互質(zhì)， b1和 b2互質(zhì)，存在整數(shù) p,q,r， r≠ 0，滿足騎士的可行點集與S(p,q,r)相同。 ?命題 1與原猜想的 本質(zhì)區(qū)別 在于，它增加了一個條件： a1和 a2互質(zhì)， b1和 b2互質(zhì)。
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