【文章內(nèi)容簡介】 fi? 間有 n 種可能的躍遷方式，則躍遷幾率幅是各種可能發(fā)生的躍遷幾率幅之和。即 ??n nifif（ 幾率幅疊加規(guī)則 ，為態(tài)的疊加的一種表述。 費(fèi)曼稱其為“量子力學(xué)第一原理”。它是一條基本原理，至今無法從更基本的觀念將其導(dǎo)出 ） 規(guī)則 2：假如在 fi? 間有 n 個(gè)獨(dú)立的末態(tài)，則躍遷幾率等于到達(dá)各末態(tài)的躍遷幾率之和。即?? n nifif 22 （ 獨(dú)立事件的 幾率相加律 ） 規(guī)則 3：假如在 fi? 間有一中間態(tài)，則躍遷幾率幅等于分段幾率幅之積。即 ivvfif ? 規(guī)則 4：假如一獨(dú)立體系中的兩 個(gè)粒子同時(shí)躍遷，則體系的躍遷幾率等于 兩粒子幾率幅之積。即 （規(guī)則 4均系 獨(dú)立事件的幾率相乘律 ） （此略） 第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論 第 10 頁 共 23 頁 10 167。 35 薛定諤方程 薛定諤在其導(dǎo)師德 拜 (“有了波，就應(yīng)有一個(gè)波動(dòng)方程 ” )的啟示下，提出 了關(guān)于物質(zhì)波的 波 動(dòng)方程。 這一方程不能從 更 基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來，它是量子力學(xué)的基本方程 ，其正確性只能靠實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。 設(shè)一個(gè)非相對(duì)論自由粒子的質(zhì)量為 m，動(dòng)量為 p，在勢場 )(xV 中作一維運(yùn)動(dòng)，則粒子的能量為)(2 2 xVmpE ?? 利用??? ? ?? kp hE ? ???（波矢??2?k）， 將上式寫為： )1()(2 )( 2 ????? xVmk ??? 自由 粒子的波函數(shù) 可 寫成平面波形式 [(1)式 在 0)( ?xV 的 ]： )2(),( )(0 ???tkxietx ??? ?? 任 務(wù) ：找到與 )(2 )( 2 xVmk ?? ??? 一致的方程，且在 0)( ?xV 時(shí)得到它的 解 （ 2） 。 從波函數(shù)知：??????????????????????????2222 pxpxiEti??? 當(dāng) 0)( ?xV 時(shí)，有 0)2()2( 2222 ???????? ?? mpExmti ?? 或者： ??2222 xmti ????? ?? 當(dāng) 0)( VxV ? (常數(shù) ) (即 不存在作用力 )時(shí)， 式 （ 2） 是方程 tiVxm ??????? ??? ??02222 的解，且與 式 （ 1） 一致。 推廣到一般的勢場 )(xV ， 即得 一維 薛定諤方程 ： )3()(2222 ????? tixVxm ??????? ??? 將其與經(jīng)典關(guān)系式 )(2 2 xVmpE ?? 比較，知作了如下變換：??????????????xiptiE??然后作用到波函數(shù) ?上即得 式（ 3） 。 薛定諤方程的一般表達(dá)式 ： )4(),(),()](2[ 22 ???????? trtitrrVm ?? ?????? 第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論 第 11 頁 共 23 頁 11 當(dāng) 勢場 0)( ?rV ? 時(shí)的自由粒子的解為： )5(),( )(0 ???? ?? trkietr ??? ??? 將其與經(jīng)典關(guān)系式 )(2 2 rVmpE ?? ?? 比較，知作了如下變換： )6(????????????????iptiE 薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。事實(shí)上，可把式（ 4）、（ 5）、（ 6） 視為量子力學(xué)的基本假設(shè)。 ： 當(dāng) )(rV? 不顯含時(shí)間 t時(shí)，用分離變數(shù)法對(duì)薛定諤方程 （式 4） 求特解即得。 將波函數(shù)寫成： )()(),( tTrtr ?? ?? ? 并代入 式（ 4） 后 兩邊除以 T? 得 ： dtdTTirVm ??? ???? ?? )](2[1 22，于是有????????????)8()7()](2[1 22???????????????EdtdTTiErVm ?? 式中， E是與 r、 t無關(guān)的分離常數(shù)，具有能量的量綱。 式（ 8）的解為 ?iEteTT 0? 。若把常數(shù) 0T 歸到 ? 的常數(shù)中，則 )9()(),( ????? ?iE tertr ?? ? 由此得到 定態(tài)薛定諤方程： )10()](2[ 22 ????? ?? ErVm ???? 解薛定諤方程的步驟：首先分區(qū)建立方程， 求出 其通解，然后再根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件和歸一化條件確定常數(shù)。 例 (or:無限高勢壘； 如右圖示 ) 在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子勢能為??? ??? ??? dxx dxxV ,0,0,0)( 在勢阱內(nèi)，體系滿足的薛定諤方程為 02222 ?? ?? Edxdm? 令22 2?mEk ?，則方程可改寫為： ?? 222 kdxd ?? 此方程的解為（ 波函數(shù)為正弦函數(shù) ） ： )sin( ?? ?? kxA 因 0)0( ?? ，故 0?? ； 因 0)( ?d? ， 故 ?,2,1, ?? nnkx ? 。進(jìn)而有 dnk ?? 第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論 第 12 頁 共 23 頁 12 于是有： 為正整數(shù)nmdhnEdxnAxnn,8s in)(222????????? ?? 常數(shù) A可用其歸一化條件確定：d xndψdxψ nn ?s i n212 ???????，此即歸一化波函數(shù)。 粒子出現(xiàn)的幾率： n=1 時(shí)為 2nψ ，極大值出現(xiàn)在中間； n=2 時(shí) 2nψ 在中間為 0，兩旁各有一個(gè)極大?？梢姡Ｗ拥拇_切位置是用經(jīng)典語言無法 描述 的。 例 2： 一維有限勢阱 在一維有限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子勢能 為：??????????220dx,Vdx,V(x)d 在阱內(nèi)的解已由例 1給出。 在阱外，體系滿足的薛定諤方程為 ψCψE)m (Vdx ψd d 2222 2 ??? ? 。 其中，22 2 ? E)m(VC d ??。方程的解 指數(shù)函數(shù)，由波函數(shù)的有限條件可得以下兩個(gè)解 ：??????????????22d,xeAd,xeAψ (x)CxCx 可見， 在 dVE? 時(shí)，粒子有一定幾率出現(xiàn)在阱外， 粒子的動(dòng)能在勢阱邊界發(fā)生變化，而動(dòng)能的變化相當(dāng)于波長的變化，說明粒子在阱的邊界既有反向又有透射， 這 與經(jīng)典物理觀點(diǎn)的根本差異。 例 (方勢壘的貫穿 ) ??? ?????210210 xx,xV x,xx,xV (x ) 利用一維定態(tài)薛定諤方程 分區(qū)域求解 0][2 222 ??? ψEV (x )mdx ψd ? 在區(qū)域 1， V=0， 方程為 ?21222 2 kψmEdx ψd ???? ? ,其中 Emk221 2?? 其解是正弦波： )(sin 1111 ?? ?? xkA , 第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論 第 13 頁 共 23 頁 13 在 區(qū)域 2， EVV ?? 0 ，方程為 ?? 220222 )(2 kEVmdx ψd ???? ? , E)(Vmk ??0222 2? 其解是指數(shù)函數(shù)： xkeAψ 222 ?? 在區(qū)域 3，與區(qū)域 1類同，其解為正弦波： )(sin 3133 ?? ?? xkA 解中有關(guān)常數(shù)由波函數(shù)的連續(xù)條件和歸一化條件決定。 可見， 區(qū)域 1 的粒子有可能經(jīng)區(qū)域 2 進(jìn)入?yún)^(qū)域 3，其 貫 穿幾率為 D22 0E)m(VeP ??? ，勢壘厚度 ( 12 xxD ?? )越大，粒子能量 E 越小，粒子貫穿 幾率越小。 D 和 E 的變化對(duì)貫穿因子 P 十分靈敏。 伽莫夫首先導(dǎo)出這一關(guān)系式，并用于解釋原子核發(fā)生 ? 衰變的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。 *隧道顯微鏡簡介： （詳見教材 ） 例 一維諧振動(dòng)的能量 22 22 kxmpE ?? ，其中 22kxV? ， k為振子的彈性常數(shù)。 在經(jīng)典物理中，諧振子的運(yùn)動(dòng)是正弦運(yùn)動(dòng)， )sin(0 ?? ?? txx 。能量為 2021kxE?，角頻率為mk??， 0x 為粒子動(dòng)能為 0時(shí)的位置 (轉(zhuǎn)折點(diǎn) )。 量子力學(xué)中，對(duì)于 221)( kxxV ? 的薛定諤方程為： )()(21)(2 22222 xExxmxdxdm ???? ??? ? 此非常數(shù)微分方程仍有精確解：??????????? )(!2)()21(222yHenxnEnxnn?????? 式中 xmy???， )(yHn 為厄密多項(xiàng)式 (詳見教材 )。 可證明，能級(jí)間的躍遷服從 1??n 的選擇規(guī)則。 小結(jié)： 諧振子的三個(gè)特點(diǎn) 1) 有零點(diǎn)能 。 (非諧振子特有 ；可從不確定關(guān)系得到 ) 2) 能量間隔相同 (等距 )。 (主要特點(diǎn) ) 3) 躍遷只能逐級(jí)進(jìn)行。 第三章 量子力學(xué)導(dǎo)論 第 14 頁 共 23 頁 14 后兩個(gè)特點(diǎn)合起來則表示各躍遷都發(fā)出頻率相同的輻射，實(shí)驗(yàn)中只能測到一條譜線。 諧振子和方阱勢較簡單且有精確解，常被理論計(jì)算作為第一級(jí)近似的 出發(fā)點(diǎn)。如高速電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)，假定它受到一個(gè)諧振子勢的作用，與實(shí)測輻射譜比較。若實(shí)測到一個(gè)頻率 (一個(gè)能量 )的譜線，說明電子受到的確是諧振子勢，否則就不是。依照其偏差對(duì)理論 做出 修正。 *167。 36 量子力學(xué)中的一些理論和方法 由于量子力學(xué)的基本規(guī)律是統(tǒng)計(jì)性的， ? 只具有幾率的含義，因此對(duì)于任何物理量，只有求出與它對(duì)應(yīng)的平均值后，才能與實(shí)驗(yàn)中觀察到的量相比較。顯然， *2 ??? ? 相當(dāng)于空間的幾率分布。 在經(jīng)典物理中 ， 欲求任意函數(shù) )(xf 在 x 定義域 ),0( l 范圍的平均值 。 權(quán)重 均值為：???lldxxPdxxPxfxf00)()()()( 。定義域內(nèi)的幾率分布 )(xP 滿足歸一化條件： 1)(0 ??l