【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 1 ,ppfxfx ??? ? ?因?yàn)?? ? ? ?120, 0f x f x??，所以 ? ? ? ?12f x f x? 故 ? ? ? ?2f x f x? = 23log 23px?? 因?yàn)?? ? ? ?f a f b? ，所以 231 log 233pabp ??? ? ，所以 1 2 3lo g 2 ,b p p a? ? ? ?即 1 2 3log 2a b p p? ? ? ? 當(dāng) ? ?21,x p p? 時(shí)，令 ? ? ? ?12f x f x? ，則 231 log 233xppx ??? ? ，所以 1 2 3log 22ppx ??? ， 當(dāng) 1 2 32 lo g 2, 2ppxp ????? ????時(shí)， ? ? ? ?12f x f x? ，所以 ? ? ? ?2f x f x? = 23log 23xp?? 1 2 3 1lo g 2 ,2ppxp????? ????時(shí)， ? ? ? ?12f x f x? ，所以 ? ? ? ?1f x f x? = 13px? ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和 1 2 312lo g 22ppb p p??? ? ? = 1 2 3l o g 22 2 2pp a b b abb?? ??? ? ? ? （ 2）當(dāng) 21pp? 32log? 時(shí) . ? ? ? ?? ?111113 , ,3 , ,xppxx p bfx x a p??? ??? ? ???， ? ? ? ?? ?2323lo g 2 22 lo g 2 23 , ,3 , ,xppxx p bfx x a p????? ??? ? ??? 當(dāng) ? ?2,x p b? ， ? ?? ?2 1 3lo g 21 023 3 1 ,ppfxfx ??? ? ?因?yàn)?? ? ? ?120, 0f x f x??，所以 ? ? ? ?12f x f x? ， 故 ? ? ? ?2f x f x? = 23log 23xp?? 當(dāng) ? ?1,x a p? ， ? ?? ?1 2 3lo g 21 023 3 1 ,ppfxfx ??? ? ?因?yàn)?? ? ? ?120, 0f x f x??，所以 ? ? ? ?12f x f x? 故 ? ? ? ?1f x f x? = 13px? 因?yàn)?? ? ? ?f a f b? ，所以 231 log 233bppa ??? ? ，所以 1 2 3log 2a b p p? ? ? ? 當(dāng) ? ?12,x p p? 時(shí)，令 ? ? ? ?12f x f x? ，則 231 log 233pxxp ??? ? ，所以 1 2 3log 22ppx ??? ， 當(dāng) 1 2 31 lo g 2, 2ppxp ????? ????時(shí)， ? ? ? ?12f x f x? ，所以 ? ? ? ?1f x f x? = 13xp? 1 2 3 1lo g 2 ,2ppxp????? ????時(shí)， ? ? ? ?12f x f x? ，所以 ? ? ? ?2f x f x? = 23log 23px?? ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和 1 2 321lo g 22ppb p p??? ? ? = 1 2 3l o g 22 2 2pp a b b abb?? ??? ? ? ? 綜上得 ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為 2ba? 10.（江西卷 22） ． （本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) ? ? 118axfx axxa? ? ? ???， ? ?0x,? ?? ． ??1 ．當(dāng) 8a? 時(shí)，求 ??fx的單調(diào)區(qū)間； ??2 ．對(duì)任意正數(shù) a ，證明： ? ?12fx??． 解： ??1 、當(dāng) 8a? 時(shí)， ? ? 1131 xfx x????，求得 ? ?? ?3121 xfx xx?? ? ?， 于是當(dāng) (0,1]x? 時(shí)， ? ? 0fx? ? ；而當(dāng) [1, )x? ?? 時(shí)， ? ? 0fx? ? ． 即 ()fx在 (0,1] 中單調(diào)遞增，而在 [1, )?? 中單調(diào)遞減． （ 2） .對(duì)任意給定的 0a? ， 0x? ，由 1 1 1( ) 1 1 81fx xaax? ? ???? ， 若令 8b ax? ，則 8abx? … ① ，而 ? ? 1 1 11 1 1fx x a b? ? ?? ? ? … ② （一）、先證 ? ? 1fx? ； 因?yàn)?1111 xx ? ??， 1111 aa ? ??， 1111 bb ? ??， 又由 42 2 2 2 4 2 8a b x a bx abx? ? ? ? ? ? ? ，得 6a b x? ? ? ． 所以 ? ? 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1fx x a bx a b? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?3 2 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? 9 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ( ) ( ) 1(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b x a b xx a b? ? ? ? ? ? ???? ? ?． （二）、再證 ? ? 2fx? ；由 ① 、 ② 式中關(guān)于 ,xab 的對(duì)稱性，不妨設(shè) x a b?? ．則 02b?? （ ⅰ ）、當(dāng) 7ab?? ，則 5a? ，所以 5xa??，因 為 1 11 b??， 1 1 2 11 1 1 5xa? ? ?? ? ?，此時(shí) ? ? 1 1 1 21 1 1fx x a b? ? ? ?? ? ?． （ ⅱ ）、當(dāng) 7ab?? … ③ ，由 ① 得 , 8x ab? ， 181 ababx ? ??， 因?yàn)? 2 221 1 [ 1 ]1 1 4 ( 1 ) 2 ( 1 )b b bb b b b? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 1 12(1 )1 b bb ?? ?? … ④ 同理得 1 12 (1 )1 a aa ?? ?? … ⑤ ，于是 ? ? 1222 1 1 8a b a bfx a b a b??? ? ? ???? ? ??? … ⑥ 今證明 21 1 8a b a ba b a b??? ? ? … ⑦ , 因?yàn)? 21 1 (1 ) (1 )a b a ba b a b??? ? ? ? ， 只要證 (1 ) (1 ) 8a b a ba b a b?? ? ?，即 8 (1 )(1 )ab a b? ? ? ?，也即 7ab?? ，據(jù) ③ ，此為顯然． 因此 ⑦ 得證．故由 ⑥ 得 ( ) 2fx? ． 綜上所述，對(duì)任何正數(shù) a,x ，皆有 ? ?12fx??． 11.（湖北卷 20） .(本小題滿分 12 分 ) 水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用 t 表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于 t 的近似函數(shù)關(guān)系式為 124( 14 40) 50 , 0 10 ,()4( 10) ( 3 41 ) 50 , 10 12.xt t e tVtt t t?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? （Ⅰ）該水庫(kù)的蓄求量小于 50的時(shí)期稱為枯水期 .以 1i t i? ? ? 表示第 1 月份（ 1,2, ,12i ? ） ,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取 ? 計(jì)算） . 解： 水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用 t 表示時(shí) 間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于 t 的近似函數(shù)關(guān)系式為 124( 14 40) 50 , 0 10 ,()4( 10) ( 3 41 ) 50 , 10 12.xt t e tVtt t t?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? （Ⅰ）該水庫(kù)的蓄求量小于 50的時(shí)期稱為枯水期 .以 1i t i? ? ? 表示第 1 月份（ 1,2, ,12i ? ） ,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取 ? 計(jì)算） . 12.（湖南卷 21） （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) f(x)=ln2(1+x) 21xx? . (I) 求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間 。 （Ⅱ）若不等式 1(1 )aa en ???對(duì)任意的 N*n? 都成立（其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） . 求 ? 的最大值 . 解 : （Ⅰ）函數(shù) ()fx的定義域是 ( 1, )? ?? ， 22222 l n ( 1 ) 2 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2( ) .1 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x xfx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 設(shè) 2( ) 2( 1 ) l n( 1 ) 2 ,g x x x x x? ? ? ? ?則 ( ) 2 ln( 1 ) .g x x x? ? ? ? 令 ( ) 2 ln( 1 ) 2 ,h x x x? ? ?則 22( ) 2 .11 xhx xx?? ? ? ??? 當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) 0,hx? ? ()hx 在（ 1， 0）上為增函數(shù)， 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， ( ) 0,hx? ? ()hx 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 所以 h(x)在 x=0 處取得極大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x? ??， 函數(shù) g(x)在 ( 1, )? ?? 上為減函數(shù) . 于是當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) (0) 0,g x g?? 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， ( ) (0) x g?? 所以，當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) 0,fx? ? ()fx在（ 1， 0）上為增函數(shù) . 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， ( ) 0,fx? ? ()fx在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 故函 數(shù) ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 1， 0），單調(diào)遞減區(qū)間為 (0, )?? . （Ⅱ）不等式 1(1 )na en ???等價(jià)于不等式 1( ) ln(1 ) n? ? ?由 111n??知， 1 .1ln(1 )ann??? 設(shè) ? ?11( ) , 0 , 1 ,ln (1 )G x xxx? ? ??則 222 2 2 21 1 ( 1 ) l