【正文】 2]a?? ，可知 29 64 0a? ? ? ?，從而 24 3 4 0x ax? ? ?恒成立． 當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ；當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ． 因此函數(shù) ()fx在 [1,1]? 上的最大值是 (1)f 與 ( 1)f ? 兩者中的較大者． 為使對(duì)任意的 [ 2,2]a?? ，不等式 ()1fx? 在 [1,1]? 上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 111) )1((ff ??????，即22bab a?? ??? ???? ，在 [ 2,2]a?? 上恒成立． 所以 4b?? ，因此滿(mǎn)足條件的 b 的取值范圍是 ( , 4]??? ． 6.（安徽卷 20） ． （本小題滿(mǎn)分 12 分） 設(shè)函數(shù) 1( ) ( 0 1 )lnf x x xxx? ? ?且 （ Ⅰ ）求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）已知 12 ax x? 對(duì)任意 (0,1)x? 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 解 (1) 39。22ln 1( ) ,lnxfx xx???若 39。( ) 0,fx? 則 1x e? 列表如下 x 1(0, )e 1e 1( ,1)e (1, )?? 39。()fx + 0 ()fx 單調(diào)增 極大值 1()f e 單調(diào)減 單調(diào)減 (2)在 12 ax x? 兩邊取對(duì)數(shù) , 得 1 ln 2 lnaxx ? ,由于 0 1,x?? 所以 1ln2 lna xx? (1) 由 (1)的結(jié)果可知 ,當(dāng) (0,1)x? 時(shí) , 1( ) ( )f x f ee? ? ?, 為使 (1)式對(duì)所有 (0,1)x? 成立 ,當(dāng)且僅當(dāng)ln2a e?? ,即 ln2ae?? 7.（山東卷 21） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 已知函數(shù) 1( ) ln ( 1 ) ,(1 ) nf x a xx? ? ??其中 n∈ N*,a 為常數(shù) . （Ⅰ）當(dāng) n=2 時(shí)，求函數(shù) f(x)的極值； （Ⅱ）當(dāng) a=1 時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù) n,當(dāng) x≥ 2 時(shí)，有 f(x)≤ x1. （Ⅰ）解：由已知得函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?{x|x＞ 1}， 當(dāng) n=2 時(shí)，21( ) ln ( 1 ) ,(1 )f x a xx? ? ?? 所以 232 (1 )( ) .(1 )axfx x??? ? （ 1）當(dāng) a＞ 0 時(shí)，由 f(x)=0 得 1 21x a??＞ 1，2 21x a??＜ 1， 此時(shí) f′（ x） = 123( )( )(1 )a x x x xx? ? ??. 當(dāng) x∈（ 1， x1）時(shí)， f′（ x）＜ 0,f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng) x∈（ x1+∞）時(shí)， f′（ x）＞ 0, f(x)單調(diào)遞增 . （ 2）當(dāng) a≤ 0 時(shí)， f′（ x）＜ 0 恒成立，所以 f(x)無(wú)極值 . 綜上所述， n=2 時(shí)， 當(dāng) a＞ 0 時(shí)， f(x)在 21xa??處取得極小值，極小值為 22(1 ) (1 ln ).2af aa? ? ? 當(dāng) a≤ 0 時(shí)， f(x)無(wú)極值 . （Ⅱ）證法一：因?yàn)?a=1,所以 1( ) ln ( 1).(1 ) nf x xx? ? ?? 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 令 1( ) 1 l n ( 1 ) ,(1 ) ng x x xx? ? ? ? ?? 則 g′（ x） =1+1112( 1 ) 1 1 ( 1 )nnn x nx x x x???? ? ?? ? ? ?＞ 0（ x≥ 2） . 所以當(dāng) x∈ [2,+∞ ]時(shí)， g(x)單調(diào)遞增， 又 g(2)=0 因此 1( ) 1 l n ( 1 )( 1 ) ng x x xx? ? ? ? ??≥ g(2)=0 恒成立， 所以 f(x)≤ x1 成立 . 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 要證 ()fx≤ x1,由于 1(1 )nx?＜ 0，所以只需證 ln(x1) ≤ x1, 令 h(x)=x1ln(x1), 則 h′（ x） =1 1211xxx????≥ 0（ x≥ 2） , 所以 當(dāng) x∈ [2， +∞ ]時(shí)， ( ) 1 ln( 1)h x x x? ? ? ?單調(diào)遞增，又 h(2)=1＞ 0， 所以當(dāng) x≥ 2 時(shí)，恒有 h(x) ＞ 0,即 ln（ x1）＜ x1 命題成立 . 綜上所述，結(jié)論成立 . 證法二：當(dāng) a=1 時(shí)， 1( ) ln ( 1 ) .(1 ) nf x xx? ? ?? 當(dāng) x≤ 2，時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù) n，恒有 1(1 )nx?≤ 1， 故只需證明 1+ln(x1) ≤ x1. 令 ? ?( ) 1 ( 1 l n( 1 ) ) 2 l n( 1 ) , 2 ,h x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則 12( ) 1 ,11xhx xx?? ? ? ??? 當(dāng) x≥ 2 時(shí)， ()hx? ≥ 0，故 h(x)在 ? ?2,?? 上單調(diào)遞增， 因此 當(dāng) x≥ 2 時(shí)， h(x)≥ h(2)=0，即 1+ln(x1) ≤ x1 成立 . 故 當(dāng) x≥ 2 時(shí)，有 1 ln( 1)(1 )n xx ???≤ x1. 即 f（ x）≤ x1. 8.（江蘇卷 17） ．某地有三家工廠(chǎng)，分別位于矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A,B 及 CD 的中點(diǎn) P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠(chǎng)的污水，現(xiàn)要在矩形 ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且A,B 與等距離的一點(diǎn) O 處建造一個(gè)污水處理廠(chǎng)，并鋪設(shè)排污管道 AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為 y km． （Ⅰ）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式： ①設(shè)∠ BAO=? (rad)，將 y 表示成 ? 的函數(shù)關(guān)系式； ②設(shè) OP x? (km) ，將 y 表示成 xx 的函數(shù)關(guān)系式． （Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠(chǎng)的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短． CBPOAD 【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用． （Ⅰ）①由條件知 PQ 垂直平分 AB，若∠ BAO=? (rad) ，則 10cos cosAQOA ????, 故 10cosOB ?? ，又 OP＝ 10 10tan?? 10－ 10ta? ， 所以 1 0 1 0 1 0 1 0 ta nc o s c o sy O A O B O P ???? ? ? ? ? ? ?， 所求函數(shù)關(guān)系式為 2 0 1 0 sin 10co sy ?????0 4?????????? ②若 OP=x (km) ，則 OQ＝ 10－ x ，所以 OA =OB= ? ? 2 221 0 1 0 2 0 2 0 0x x x? ? ? ? ? 所求函數(shù)關(guān)系式為 ? ?22 2 0 2 0 0 0 1 0y x x x x? ? ? ? ? ? （Ⅱ）選擇函數(shù)模型①， ? ? ? ? ? ?39。221 0 c o s c o s 2 0 1 0 s in 1 0 2 s in 1c o s c o ss iny ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 令 39。y? 0 得 sin 12?? ，因?yàn)?0 4???? ，所以 ? =6? ， 當(dāng) 0,6?? ???????時(shí)， 39。 0y? ， y 是 ? 的減函數(shù)；當(dāng) ,64??? ???????時(shí)， 39。 0y? ， y 是 ? 的增函數(shù)，所以當(dāng) ? =6? 時(shí)， min 10 10 3y ?? 。這時(shí)點(diǎn) P 位于線(xiàn)段 AB 的中垂線(xiàn)上，且距離 AB 邊 1033 km 處。 9.（江蘇卷 20） 若 ? ? 11 3xpfx ?? ， ? ? 22 23xpfx ?? ， 12,x R p p? 為常數(shù)， 且 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 22 1 2,f x f x f xfx f x f x f x???? ? ??? （Ⅰ）求 ? ? ? ?1f x f x? 對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件（用 12,pp表示）； （Ⅱ）設(shè) ,ab為兩實(shí)數(shù)， ab? 且 12,pp? ?,ab ,若 ? ? ? ?f a f b? 求證： ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為 2ba? （閉區(qū)間 ? ?,mn 的長(zhǎng)度定義為 nm? ）． 【解析】本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用． （Ⅰ） ? ? ? ?1f x f x? 恒成立 ? ? ? ? ?12f x f x? ? 123 2 3x p x p??? ? 12 3log 233x p x p? ? ? ? ? 1 2 3 2x p x p lo g? ? ? ?（ *） 因?yàn)?? ? ? ?1 2 1 2 1 2x p x p x p x p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以，故只需 12pp? 32log? （ *）恒成立 綜上所述， ? ? ? ?1f x f x? 對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是： 12pp? 32log? （Ⅱ） 1176。如果 12pp? 32log? ，則的圖象關(guān)于直線(xiàn) 1xp? 對(duì)稱(chēng)．因?yàn)?? ? ? ?f a f b? ，所以區(qū)間? ?,ab 關(guān)于直線(xiàn) 1xp? 對(duì)稱(chēng)． 因?yàn)闇p區(qū)間為 ? ?1,ap ，增區(qū)間為 ? ?1,pb ，所以單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為 2ba? 2176。如果 12pp? 32log? . （ 1）當(dāng) 12pp? 32log? 時(shí) . ? ? ? ?? ?111113 , ,3 , ,xppxx p bfx x a p??? ??? ? ???， ? ? ? ?? ?2323lo g 2 22 lo g 2 23 , ,3 , ,xppxx p bfx x a p????? ??? ? ??? 當(dāng) ? ?1,x p b? ， ? ?? ?2 1 3lo g 21 023 3 1 ,ppfxfx ??? ? ?因?yàn)?? ? ? ?120, 0f x f x??，所以 ? ? ? ?12f x f x? ， 故 ? ? ? ?1f x f x? = 13xp? 當(dāng) ? ?2,x a p? ， ? ?? ?1 2 3lo g 21 023