克萊姆法則的推廣及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-10-08 19:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ）的任一解時這個解必為（ 4），即解是唯一的。 再證解的存在性，將（ 4）代入方程組（ 3）中的第一個方程的左端，再由 Laplace展開定理即引理 1得 DDMDMDDMDDM ssss /][ 11111111 ????? ?? DBcBcMBcBcMBcBcM sssssssss )]()()([ 111212112111111 ?????????? ???? DBMBMcBMBMcBMBMc sssssssss /)]()()([ 111121211121111111 ?????????? ???? 121 ][ cDDcDcDc s ????? ? 即（ 4）滿足（ 3）的第一個方程 同理可證（ 4）也滿足方程組（ 3）的其余各方程，故（ 4）是方程組（ 3）的一個解。 顯然，當(dāng) 1?k 時， AM? ，此時定理 2 為 推論 設(shè)向量方程組 ?????????????nnnnnnnncxaxaxacxaxaxa????????221111212111 （ 5） 的系數(shù)行列式 0?D ，則（ 5）有唯一解， DDxDDx nn ?? ,11 ? ，其中 ix 是數(shù)域 P 上的線性空間 V 的位置向量， ic 是 V 中的已知向量，),2,1(, 11 njBcBcDPa njnjjij ?? ????? 。而， njjj BBB , 21 ? 依次是 njj aa ,1 ? 在 D 中的代數(shù)與子式。 畢業(yè)論文 第 4 章 介紹克萊姆法則的各種應(yīng)用 克萊姆法則 若 一個 線性方程組的系數(shù)行列式 0?D , 則 該 線性方程組有唯一解 ,其解為 ),2,1( njDDx jj ??? 其 中 ),2,1( njD j ?? 是把 D 中第 j 列元素 njjj aaa , 21 ? 對應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項, 21 nbbb ? 而其余各列保持不變所得到的行列式 . 用克萊姆法則討論一元二次線性方程組的公共根 上的 問題 一元二次方程，就是只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為 2 的整式方程，其一般形 式為 02 ??? cbxax ； )0,( ?acba 常數(shù)， 定理 1 兩個一元二次方程 ???????????0022221121 cxbxa cxbxa )0( )0(21 ??aa （ I） 僅有一個共根的充要條件是： 02211 ?ba ba 且 02211221122211 ?? cb cbba baca ca 證明：令 yx?2 ，方程（ 1）化為： ??? ??????222111 cxbya cxbya （ II） 由克萊姆法則知（ 2）只僅有一個共根 ? 畢業(yè)論文 022112 ????????? ba baDDDD yx 且 02211221122211 ?? cb cbba baca ca 由上可得推論：若兩個一元二次方程（ 1）和（ 2）僅有一個公共根，則這個公共根為： 22112211babacacax? 且 221122112babacbcbx ? 同樣根據(jù)克萊姆法則可得出一元二次方程（ 1）有兩個公共根的充要條件 。 定理 2 022112211 ?? ca caba ba 或者 02211 ?ba ba 且 02211221122211 ?? cb cbba baca ca 證明 令 yx?2 的方程組 （ II），則方程（ 1），（ 2）有兩個公共根 ??? ? yx2方程組至少有兩個解 ? 0??? DDD yx ? 022112211 ?? ca caba ba ； 例 給出兩個 方程 012 ???axx 和 02 ??? axx ， a 取何值時，兩個方程有相同的根，并求之。 解 由定理 1 ， 2 可知，兩個方程至少有一個公共根 ? 02211221122211 ?? cb cbba baca ca ? 01 11111 112 ??aaaa 即 ： 0)2()1( 2 ??? aa 解得： 2,1 ??? aa 。 當(dāng) 1?a 時，原方程變?yōu)? ： 012 ???xx 和 012 ???xx 它們有兩個公共根： 畢業(yè)論文 ix 23212,1 ??? 當(dāng) 2??a 時 0311 21111 ????a ，兩個方程僅有一個相同根： 1111111??? aax 。 例 若三個一元二次方程 000332322221121?????????cxbxacxbxacxbxa 有公共根 試證 0333222111?cbacbacba 證明 分兩種情況證明： 1） 若方程（ 1），（ 2）僅有一個公共根，則由定理 1 ，推論，公共根為： 21112211babacacax? 且 221122112babacbcbx ? 將它代入方程（ 3）得 03221122113221122113 ??? cbabacacabbabacbcba ? 02211 ?ba ba ，上式兩邊同時乘以2211 ba ba 得 ： 畢業(yè)論文 0221322112211322113 ??? babacbabacacabcb cba 即 ： 0333222111?cbacbacba 2） 若方程（ 1），（ 2）有兩個公共根，則由定理可知： 022112211 ?? ca caba ba 從而 02211 ?cb cb ? 0221322112211322113 ??? babacbabacacabcb cba 即 ： 0333222111?cbacbacba 由上述可知：三個一元二次方程（ 1），（ 2），（ 3）若有公共根，則 0333222111?cbacbacba 否則，若 0333222111?cbacbacba ，則它們無公共根 。 借助克萊姆法則證明一類特殊不等式 克萊姆法則是解決方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等且系數(shù)行列式不等于零的線性方畢業(yè)論文 程組的重要工具，但若能將其應(yīng)用于某些不等式的證明，也可取得奇妙的效果。 命題 設(shè) ,3,2,1,0 niai ?? ? 求證 112131 232 1 ?????????????? ? n naaa aaaa aaaa a nnnn ???? 等號當(dāng)且僅當(dāng) naaa ??? ?21 時成立。 證明 令 ?????????????????????????nnnnnnxaaaaxaaaaxaaaa132121311132?????????? 視之為以 naaa , 21 ? 為未知量，含有 n 個方程的線性方程組。其系數(shù)行列式),1()1( 1 ??? ? nD n 用 nxxx , 21 ? 分別替換行列式 D 中的第 n,2,1 ? 列得： ])1([)1(,],)1([)1(],)1([)1( 1121121111 nni innni inni in xnxDxnxDxnxD ???????????? ??? ?????? ?根據(jù)克萊姆法則有： 1)1(,1)1(,1)1(11 2221 111 ??????????????? ?????? nxnxDDanxnxDDanxnxDDani ninnni ini i ? 故 ????????????? ? 12131 232 1 nnnn aaa aaaa aaaa a ???? ?? ????? ???? ?? ??? ??? )1( )1()1( )1()1( )1( 121 211 1 nxxnxnxxnxnxxnxnni nini ini i ? ???????????????? ? )]1([11 121231132 nnx xxxx xxxx xxxn n nnn ???? 1)]2()1([11 ?????? n nnnnnn 此處用了不等式 nnn qqqn qqq ?? 2121 ???? ，等號當(dāng)且僅當(dāng) nqqq ??? ?21 時成立，畢業(yè)論文 命題得證。 在上述命題中，令 2?n ，則的 2??abba ，令 3?n ，則得 23?????? ba cca bcb a 。 推論 設(shè) niRai ,2,1, ??? ? 且 Mani i ???1，則當(dāng) nMai ? 時， ?? ?ni ii aMa
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