【文章內(nèi)容簡介】 ，使得行列式變成下面的形式：位于主對 角線 一側的所有元素全等于 0，這樣得到的行列式的值等于主對角線元素的乘積，對于次對角線的情形，行列式的值等于（ 1） 1/2n(n1)與次對角線上所有元素的乘積?；欠ㄒ话阒贿m用于一些有規(guī)律的、 可以通過簡單的初等行列變換變成三角形行列式， 或 者變成爪型行列式、主次對角行列式、平行線形行列式、等的行列式。但對于其它的一些行列式就不是很適合應用。 例 3 計算行列式 Dn=xyyyyyyyxyyyyy. ... ... ... ... ... ... ... ... ..x 解 ： Dn=xyyyynxyyyxynxyyyyynx...1.....................1...1）（）（）（??????=（ x+(n1)y）xyyyyyyxyyyy. ..1. ... ... ... ... ... ... ..1. ..1 =（ x+(n 1)y）yxyxyyyy??...0000..................0...000...1 =[x+(n 1)y](x y)n 1 行列式按一行（列）展開 這種按行列式某行或某列展開的計算方法是運用行列式自身所帶有的工具 余子式、代數(shù)余子式。下面先介紹余子式和代數(shù)余子式的定義： 余子式 ： 在 n 階行列式中，將元素 aij所在的第 i 行第 j列的元素劃去后剩下的元素按 ５ 照位置次序構成的 n1 階行列式，稱為元素 aij的余子式，記為 Mij， 代數(shù)余子式： 當 Aij=（ 1） i+jMij，稱 Aij為元素 Aij的代數(shù)余子式。 在了解了余子式和代數(shù)余子式之后，再補充一條關于行列式的值的定理， 定理： 行列式的值等于它的某一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和。 因此，我們可以把一個 n 階行列式的計算置換成 n 個（ n1）階行列式來計算，這種方法通常應用在一般是行列式某一行或某一列含有較多的零時。 例 4 計算5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0 解 :原式 = 660 270132105324141325253204140132021352)1( 52 ????????? ? ? ?? ?66 27210? ? ? 1080124220 ?? 注：由行列式的展開定理，我們可以把有些行列式展開來，展開成若干個低一階的行列式的代數(shù)和，如果有必要的話 ，我們可以繼續(xù)展開下去，直到方便計算求和，這種方法叫做降階法。 例 5 計算 n 階行列式 D=xyyxyxyx0...00...000..................00...000...0 解 : 依第一列展開得 ６ D=xyxyx0. ..000. ... ... ... ... ... ..00. ..000. ..0+( 1)n+1yyxyxy...00...............00...00...0 =xn+( 1)n+1yn 加邊法 還有一種常用的行列式計算方法 加邊法，也就是升階法。 有時候 為了方便計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后的行列式必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式容易計算。這就要求我們在選取所加的行和列要根據(jù)需要和原行列式的特點。加邊法適用于某一行（列）只有一個不相同的元素的情況，也可用于其行（列）的元素分別為 n1 個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是： nnnnaaaa...............1111nnnnaaaa...0...............0*...*11111?nnnnaaaa...0*..................0**...*1*0...0011111? 這里升階是為了降價，在 *處加上所需要的數(shù)，就可以簡化行列式的計算，用此法時要注意行列式階數(shù)的變化。 例 6 計算 n（ n≥ 2）階行列式 Dn=naaaa????1...111...............1...1111...1111...111321，其中 a1a2...an? 0 解：先將 D n 添上一行一列，變成下面的 n+1 階行列式： Dn+1=..1...110...............1...1101...1101...11121naaa???,顯然 Dn+1=Dn 將上式第 1行乘以 1加到第 i行；第 i行乘以 ia1 加到第 1行（ i=2，?， n）； ７ 按第一行展開得 Dn+1=（ 1+??n11i ia)a1a2...an 注：找出每行或每列相同的因子是加邊法最大的特點，這樣升階之后，我們就可以利用行列式的 性質(zhì)把絕大部分的元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的目的。當然，有時加邊后的行列式的值不一定就等于原行列式的值，不過會與原行列式的值存在一個關系。例如有原行列式 Dn， Dn 行列式如果直接求值的話，不容易求，加邊后的行列式為 Dn+1，很容易求得 Dn+1 的值，兩者有比較明確的關系， ADn+BDn+1=C，則可利用這個關系求出行列式 Dn 的值，這種解法也是同樣適用于加邊法的。 遞推法 遞推法也是一種常用的行列式計算方法。遞推方法計算行列式是將已知的行列式按行（列）展開成較低階的同類型的行列式（同類型行列式是指階數(shù)不同，但結構相同的行列式），再找出 Dn與 Dn1或 Dn 與 Dn Dn2（其中 Dn、 Dn Dn2 結構一定要相同）之間的遞推關系，然后利用這個遞推公式求出行列式的值。 例 7 計算行列式 Dn=baabbabaabbaabbaabba??????1...0000...0000.....................0010000...1000...0100...00 解 :將 Dn 按第一行展開 ,得 ８ Dn = ( a + b)Dn 1 ab階)1(1...0000...0000.....................00...10000...1000...0000...001??????nbaabbabaabbaabbaab = ( a + b)Dn 1 abDn 2. 把上式改寫成 Dn aD n 1 = b(Dn 1 aDn 2 ) 利用上述遞推關系 ,遞推得到 Dn aDn 1 = b (Dn 1 aDn 2 ) = b2(Dn 2 aDn3 ) = bn 2(D2 aD 1 ). 而 D1 = a + b, D2 =baabba ??1=a2+ab+b2, 將它們代入上式 , 得 Dn aDn 1 = bn, 即 Dn = aDn1 + bn 再由此遞推關系得 Dn = aDn 1+ bn = a(aDn 2 + bn1） + bn =a2Dn 2 +abn1+bn =?? =an+an1b+...+abn1+bn = 數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法來計算行列式，一般來說是利用不完全歸納法先尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出對猜想的證明。因為對于給定的一個行列式，要猜想其值是比較困難的事情，所以有時是先給定其值，然后再去證明一個與自然數(shù) n有關的命題。數(shù)學歸納法分為第一、第二數(shù)學歸納法。 ９ 第一數(shù)學歸納法：（ 1）證明當 n=1 時表達式成立； （ 2）證明如果當 n=k 時成立，那么當 n=k+1 時也同樣成立。 第二數(shù)學歸納法：（ 1）證明當 n=1 時命題成立； （ 2） 設 n? k時命題成立； （ 3）由歸納假設推出 n=k+1 時命題也成立。 一般情況下，用第一歸納法來計算行列式就可以了，但有時候用第一歸納法來證明時，僅僅只能歸納假設“ n=k 時命題成立”，還不能證明出命題對 n=k+1 也能夠成立，所以就要求用更強的歸納假設“ n? k時命題成立”，也就是用到了第二數(shù)學歸納法。用數(shù)學歸納法 計算行列式時，要看行列式的具體條件，再決定是適用第一數(shù)學歸納法還是第二數(shù)學歸納法。 例 8 證明 Dn=????c o s21...0001c o s2...000..................00...1c o s2100...01c o s=cos ?n , 證明：用第一數(shù)學歸納法證明。 當 n=1 時 , ?cos1 ?D ， 等式成立； n=2時 , ?? 2c o s1c o s2 22 ???D D1=cos? , 等式成立； 設當 n=k 時 , 等式成立 , 則 當 n=k+l 時 , 按最后一行展開1?kD2cos?11...0000c o s2...000..................00...1c o s2100...01c o s????kD ???? )1c o s (c o sc o s2c o s2 1 ????? ? kkDD kk =cos(k+1)? =右邊，故等式成立，得證。 １０ 例 9 計算行列式 21112112112??????nD 解： D1=2， D2=41=3,D3=822=4 ?猜想 Dn=n+1 （ 1）當 n=1 時驗證成立； （ 2）假設 kn? 時成立，即有 Dk=k+1 當 n=k+1 時，有 ? ?? ? ? ? ? ? 11211212210000...2100...1210...012211???????????????kkkkDDnnk 11 2 ?? ?? kkk DDD ?當 n=k+1 時，猜想成立。 線性因子計算法 首先需要了解 到以下兩個命題： (1) 設行列式 D 中的各元素都是 a,b 的有理整函數(shù) , 若以 b 代替 a 時，行列式的值為零 , 則 a b 是原行列式的一個因子。 (2) 設行列式 D 的元素都是 x 的