【文章內(nèi)容簡介】 zzi n則有一、主要定理和定義 定理一 . d)( , )( 無關(guān)線與連結(jié)起點及終點的路那末積分內(nèi)處處解析在單連通域如果函數(shù)CzzfBzfC?由定理一可知 : 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關(guān) , (如下頁圖 ) 1. 兩個主要定理 : 第四節(jié) 原函數(shù)與不定積分 B B?0z 1z? ?0z 1z?1C2C1C2C , , 10 zz 終點為如果起點為?? ?21d)(d)(CCzzfzzf ?? 10d)(zz zzf , , , 110 zzBzz ?并令內(nèi)變動在讓如果固定 .d)()( 0?? zz fzFB ??內(nèi)的一個單值函數(shù)便可確定 .)()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz??? ?并且析函數(shù)內(nèi)的一個解必為那末函數(shù)內(nèi)處處解析在單連通域如果函數(shù)??定理二 證 利用導(dǎo)數(shù)的定義來證 . B , 內(nèi)任一點為設(shè) Bz ?z, KBz小圓內(nèi)的為中心作一含于以KB?z K , 內(nèi)在充分小使取 Kzzz ???zz ??????? )()( zFzzF ?? ??? zzzzz ff00d)(d)( ????由于積分與路線無關(guān) , , d)( 00zzfzzz 到的積分路線可先取? ?? ??, zzz ??沿直線到然后從 ?0z??) d)( :(0路線相同的這一段與注意 ?zzf ?? , )( 的定義由 zF???? )()( zFzzF于是 ,d)(? ?? zzz f ???? ?? zzz zf ?d)( 因為 ? ?? zzzzf ?d)( ,)( zzf ??B?z K zz ????0z ??)()()( zfz zFzzF ?? ???所以)(d)(1 zffz zzz ??? ? ?? ???? d)]()([1 zffz zzz ??? ? ??B?z K zz ????0z ?? , )( 內(nèi)解析在因為 Bzf , )( 內(nèi)連續(xù)在所以 Bzf,0,0 ???? ??故 , 內(nèi)都在的一切使得滿足 Kz ??? ?? , 時即 ??? z ,)()( ?? ?? zff總有由積分的估值性質(zhì) , )()()( zfz zFzzF ?? ???)()()( zfz zFzzF ?? ??? ?? d)]()([1 zffz zzz ??? ? ???? d|)()(|1 zffz zzz ??? ? ?? .1 ?? ?????? zz,0)()()(lim 0??? ?????zfz zFzzFz于是).()( zfzF ??即 此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似 . [證畢 ] 2. 原函數(shù)的定義 : . )( )( ,)()( ,)( )( 的原函數(shù)內(nèi)在區(qū)域為那末稱即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域如果函數(shù)BzfzzfzzfBz????? .)( d)()( 0的一個原函數(shù)是顯然 zffzF zz?? ??原函數(shù)之間的關(guān)系 : . )( 一個常數(shù)的任何兩個原函數(shù)相差zf證 , )( )( )( 的任何兩個原函數(shù)是和設(shè) zfzHzG? ? )()()()( zHzGzHzG ??????那末0)()( ??? zfzf .)()( czHzG ??于是 ) ( 為任意常數(shù)c ,)( )( zFBzf 內(nèi)有一個原函數(shù)在區(qū)域如果那末它就有無窮多個原函數(shù) , .)()( 為任意常數(shù)一般表達式為 cczF ?根據(jù)以上討論可知 : [證畢 ] 3. 不定積分的定義 : .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf????記作的不定積分為為任意常數(shù)的原函數(shù)的一般表達式稱定理三 . , )()(d)( , )( )( , )( 100110內(nèi)的兩點為域這里那末的一個原函數(shù)為內(nèi)處處解析在單連通域如果函數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz???(類似于牛頓 萊布尼茲公式 ) 證 , )( d)( 0的原函數(shù)也是因為 zfzzfzz? ,)( d)( 0czGzzfzz ???所以 , 0 時當(dāng) zz ? 根據(jù)柯西 古薩基本定理 , ,)( 0zGc ??得 ,)()( d)( 00zGzGzzfzz ???所以 .)()( d)( 0110zGzGzzfzz ???或 [證畢 ] 說明 : 有了以上定理 , 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算 . 二、典型例題 例 1 解 . d 10的值求 ? zz zz , 是解析函數(shù)因為 z ,21 2z它的原函數(shù)是由牛頓 萊布尼茲公式知 , 21 d 10102zzzzzzz ?? ).(21 2021 zz ??例 2 . dc o s 0 2 的值求 ? ? i zzz解 ?? i zzz0 2 dc o s ? ?? i zz022 dc os21iz??02s in21 )s i n(21 2??? .s in21 2???(使用了微積分學(xué)中的“ 湊微分 ”法 ) 例 3 . dc o s 0 的值求 ? i zzz?i zzz0 dc o s ?? i zz0 )( s i nd??? ii zzzz 00 ds i n]s i n[解 izzz 0]c oss i n[ ?? .11 ?? ?e此方法使用了微積分中“ 分部積分法 ” 例 4 . )( ,0d)( , )( 內(nèi)解析在證明都有內(nèi)任何一條簡單閉曲線且對于內(nèi)連續(xù)在單連通域設(shè)函數(shù)BzfzzfCBBzfC??(Morera定理 ) 證 , , 0 內(nèi)任意一點為內(nèi)取定一點在 BzzB依題意可知 , d)( 00的路線無關(guān)和的值與連接 zzfzz? ?? , d)()( 0?? zz fzF ??定義了一個單值函數(shù)參照本章第四節(jié)定理二 , 可證明 ),()( zfzF ?? , )( 內(nèi)一個解析函數(shù)是所以 BzF因為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) , . )( 為解析函數(shù)故 zf 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓 –萊布尼茲公式與實函數(shù)定積分的牛頓 –萊布尼茲公式有何異同 ? 兩者的提法和結(jié)果是類似的 . 。 , , , )( 0 都是復(fù)數(shù)因而且積分路線是曲線為單連域中的解析函數(shù)但在復(fù)積分中要求zzCzf. , , ],[ )( 都是實數(shù)數(shù)上的連續(xù)實函為區(qū)間在實積分中要求xabaxf兩者對函數(shù)的要求差異很大 . , , 00???? zzzC的正向圓周半徑為很小的為中心取作以積分曲線 , )( 的連續(xù)性由 zf , )( 0 處的值接近于它在圓心的縮小而逐漸的值將隨著上函數(shù)在zzfC ? )(.d)( d)(000縮小將接近于 ??? ?? CC zzz zfzzz zf? ?C zzz zf d)(00 ).(2d1)(000 zifzzzzf C ???? ?一、問題的提出 第五節(jié) 柯西積分公式 二、柯西積分公式 定理 ???CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(π21)( , , , , )( 000那末內(nèi)任一點為于它的內(nèi)部完全含閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡單為內(nèi)處處解析在區(qū)域如果函數(shù)D?0zC證 , )( 0 連續(xù)在因為 zzf,0?? ?則 ,0)( ?? ??D?0zC K , 0 時當(dāng) ??? zz . )()( 0 ??? zfzf, :)( , 00的內(nèi)部全在的正向圓周半徑為為中心設(shè)以CRzzKRRz??? ?R? ?C zzz zf d)( 0則 ? ?? K zzz zf d)(0?? ????? KK zzz zfzfzzz