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正文內(nèi)容

平面向量復(fù)習(xí)資料(編輯修改稿)

2024-10-06 12:47 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 示 設(shè) a= (x1, y1), b= (x2, y2),其中 b≠ 0,當(dāng)且僅當(dāng) x1y2- x2y1= 0 時(shí),向量 a, b共線. 一個(gè)區(qū)別 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別: 在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 OA→ = a,點(diǎn) A 的位置被向量 a 唯一確定,此時(shí)點(diǎn) A 的坐標(biāo)與 a 的坐標(biāo)統(tǒng)一為 (x, y),但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別,如點(diǎn) A(x, y),向量 a= OA→ = (x, y). 當(dāng)平面向量 OA→ 平行移動(dòng)到 O1A1→ 時(shí),向量不變,即 O1A1→ = OA→ = (x, y),但 O1A1→ 的起點(diǎn) O1和終點(diǎn) A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化. 兩個(gè)防范 (1)要區(qū) 分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同,盡管在形式上它們完全一樣,但意義完全不同,向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息. (2)若 a= (x1, y1), b= (x2, y2),則 a∥ b 的充要條件不能表示成 x1x2= y1y2,因?yàn)?x2,y2有可能等于 0,所以應(yīng)表示為 x1y2- x2y1= 0. 雙基自測(cè) 1. (人教 A 版教材習(xí)題改編 )已知 a1+ a2+ ? + an= 0,且 an= (3,4),則 a1+ a2+ ?+ an- 1的坐標(biāo)為 ( ). A. (4,3) B. (- 4,- 3) C. (- 3,- 4) D. (- 3,4) 解析 a1+ a2+ ? + an- 1=- an= (- 3,- 4). 答案 C 2.若向量 a= (1,1), b= (- 1,1), c= (4,2),則 c= ( ). A. 3a+ b B. 3a- b C.- a+ 3b D. a+ 3b 解析 設(shè) c= xa+ yb,則 ??? x- y= 4,x+ y= 2, ∴ ??? x= 3,y=- 1. ∴ c= 3a- b. 答案 B 3. (2020鄭州月考 )設(shè)向量 a= (m,1), b= (1, m),如果 a 與 b 共線且方向相反,則 m 的值為 ( ). A.- 1 B. 1 C.- 2 D. 2 解析 設(shè) a= λb(λ< 0),即 m= λ 且 1= m= 177。1 ,由于 λ< 0, ∴ m=- 1. 答案 A 4.設(shè)向量 a= (1,- 3), b= (- 2,4),若表示向量 4a、 3b- 2a、 c 的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量 c= ( ). A. (4,6) B. (- 4,- 6) C. (4,- 6) D. (- 4,6) 解析 設(shè) c= (x, y), 則 4a+ (3b- 2a)+ c= 0, ∴ ??? 4- 6- 2+ x= 0,- 12+ 12+ 6+ y= 0, ∴ ??? x= 4,y=- 6. 答案 C 5.已知向量 a= (2,- 1), b= (- 1, m), c= (- 1,2),若 (a+ b)∥ c,則 m= ________. 解析 a+ b= (1, m- 1). ∵ (a+ b)∥ c, ∴ 2- (- 1)(m- 1)= 0, ∴ m=- 1. 答案 - 1 考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用 【例 1】 ?(2020南京質(zhì)檢 )如圖所示,在 △ ABC 中, H 為 BC 上異于 B, C 的任一點(diǎn), M 為 AH 的中點(diǎn),若 AM→ = λAB→ + μAC→ ,則 λ+ μ= ________. [審題視點(diǎn) ] 由 B, H, C 三點(diǎn)共 線可用向量 AB→ , AC→ 來表示 AH→ . 解析 由 B, H, C 三點(diǎn)共線,可令 AH→ = xAB→ + (1- x)AC→ ,又 M 是 AH 的中點(diǎn),所以 AM→ = 12AH→ = 12xAB→ + 12(1- x)AC→ ,又 AM→ = λAB→ + μAC→ .所以 λ+ μ= 12x+ 12(1- x)= 12. 答案 12 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行 四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算,共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當(dāng)基底確定后,任一向量的表示都是唯一的. 【訓(xùn)練 1】 如圖,兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起.若 AD→ = xAB→ + yAC→ ,則 x= ________, y= ________. 解析 以 AB 所在直線為 x 軸,以 A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖, 令 AB= 2,則 AB→ = (2,0), AC→ = (0,2),過 D 作 DF⊥ AB 交 AB 的延長(zhǎng)線于 F,由已知得 DF= BF= 3,則 AD→ = (2+ 3, 3). ∵ AD→ = xAB→ + yAC→ , ∴ (2+ 3, 3)= (2x,2y). 即有????? 2+ 3= 2x,3= 2y,解得????? x= 1+ 32 ,y= 32 . 另解: AD→ = AF→ + FD→ = ??? ???1+ 32 AB→ + 32 AC→ , 所以 x= 1+ 32 , y= 32 . 答案 1+ 32 32 考向二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例 2】 ?(2020合肥模擬 )已知 A(- 2,4), B(3,- 1), C(- 3,- 4),且 CM→ = 3CA→ ,CN→ = 2CB→ .求 M, N 的坐標(biāo)和 MN→ . [審題視點(diǎn) ] 求 CA→ , CB→ 的坐標(biāo),根據(jù)已知條件列方程組求 M, N. 解 ∵ A(- 2,4), B(3,- 1), C(- 3,- 4), ∴ CA→ = (1,8), CB→ = (6,3). ∴ CM→ = 3CA→ = 3(1,8)= (3,24), CN→ = 2CB→ = 2(6,3)= (12,6). 設(shè) M(x, y),則 CM→ = (x+ 3, y+ 4). ∴ ??? x+ 3= 3,y+ 4= 24, 得 ??? x= 0,y= 20. ∴ M(0,20). 同理可得 N(9,2), ∴ MN→ = (9- 0,2- 20)= (9,- 18). 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題,主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程 (組 )進(jìn)行求解;在將向量用坐標(biāo)表示時(shí),要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),也就是要注意向量的方向,不要寫錯(cuò)坐標(biāo). 【訓(xùn)練 2】 在平行四邊形 ABCD 中, AC 為一條對(duì)角線,若 AB→ = (2,4), AC→ = (1,3),則 BD→ = ( ). A. (- 2,- 4) B. (- 3,- 5) C. (3,5) D. (2,4) 解析 由題意得 BD→ = AD→ - AB→ = BC→ - AB→ = (AC→ - AB→ )- AB→ = AC→ - 2AB→ = (1,3)-2(2,4)= (- 3,- 5). 答案 B 考向三 平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算 【例 3】 ?已知 a= (1,2), b= (- 3,2),是否存在實(shí)數(shù) k,使得 ka+ b 與 a- 3b 共線,且方向相反? [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)共線條件求 k,然后判斷方向. 解 若存在實(shí)數(shù) k,則 ka+ b= k(1,2)+ (- 3,2)= (k- 3, 2k+ 2), a- 3b= (1,2)-3(- 3,2)= (10,- 4). 若這兩個(gè)向量共線,則必有 (k- 3) (- 4)- (2k+ 2) 10= 0. 解得 k=- ka+ b= ??? ???- 103 , 43 , 所以 ka+ b=- 13(a- 3b). 即兩個(gè)向量恰好方向相反, 故題設(shè)的實(shí)數(shù) k 存在. 向量共線問題中,一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值,如果向量是用坐標(biāo)表示的,就可以使用 兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程,根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值. 【訓(xùn)練 3】 (2020西安質(zhì)檢 )已知向量 a= (1,2), b= (2,- 3),若向量 c 滿足 (c+a)∥ b, c⊥ (a+ b),則 c= ( ). A.??? ???79, 73 B.??? ???- 73,- 79 C.??? ???73, 79 D.??? ???- 79,- 73 解析 設(shè) c= (m, n), 則 a+ c= (1+ m,2+ n), a+ b= (3,- 1). ∵ (c+ a)∥ b, ∴ - 3 (1+ m)= 2 (2+ n),又 c⊥ (a+ b), ∴ 3m- n= 0,解得 m=- 79, n=- 73. 答案 D 閱卷報(bào)告 5—— 平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練致誤 【 問題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問題,是高考命題向量試題的常見形式,求解這類問題的常規(guī)思路是:首先選擇一組基向量,把所有需要的向量都用基向量表示,然后再進(jìn)行求解. 【防范措施】 一是會(huì)利用平行四邊形法則和三角形法則;二是弄清平面圖形中的特殊點(diǎn)、線段等. 【 示例 】 ?(2020湖南 )在邊長(zhǎng)為 1 的正三角形 ABC 中,設(shè) BC→ 誤.= 2BD→ , CA→ =3CE→ ,則 AD→ BE→ = ________. 錯(cuò)因 搞錯(cuò)向量的夾角或計(jì)算錯(cuò) 實(shí)錄 - 12(填錯(cuò)的結(jié)論多種 ). 正解 由題意畫出圖形如圖所示,取一組基底 {AB→ , AC→ },結(jié)合圖形可得 AD→ = 12(AB→+ AC→ ), BE→ = AE→ - AB→ = 23AC→ - AB→ , ∴ AD→ BE→ = 12(AB→ + AC→ )??? ???23AC→ - AB→ = 13AC→ 2- 12AB→ 2- 16AB→ AC→ = 13-12-16cos 60176。=-14. 答案 - 14 【試一試】 (2020天津 )已知直角梯形 ABCD 中, AD∥ BC, ∠ ADC= 90176。, AD=2, BC= 1, P 是腰 DC 上的動(dòng)點(diǎn),則 |PA→ + 3PB→ |的最小值為 ________. [嘗試解析 ] 以 D 為原點(diǎn),分別以 DA、 DC 所在直線為 x、 y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè) DC= a, DP= x. ∴ D(0,0), A(2,0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), PA→ = (2,- x), PB→ = (1, a- x), ∴ PA→ + 3PB→ = (5,3a- 4x), |PA→ + 3PB→ |2= 25+ (3a- 4x)2≥ 25, ∴ |PA→+ 3PB→ |的最小值為 5. 答案 5 第 4 講 平面向量的應(yīng)用 【高考會(huì)這樣考】 1.考查利用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題. 2.考查利用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)中重點(diǎn)把握好向量平行、垂直的條件及其數(shù)量積的運(yùn)算,重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法,體驗(yàn)向量在解題過程中的工具性特點(diǎn). 基礎(chǔ)梳理 1.向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性 運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問題. (1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題,包括相似問題,常用共線向量定理: a∥ b? a=λb(b≠ 0)? x1y2- x2y1= 0. (2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥ b? ab= 0? x1x2+ y1y2= 0. (3)求夾角問題,利用夾角公式 cos θ= ab|a||b|= x1x2+ y1y2x21+ y21 x22+ y22(θ 為 a 與 b 的夾角 ). 2. 平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成與向量的加法和減法相似,可以用向量的知識(shí)來解決. (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量,這是力 F 與位移 s 的數(shù)量積.即 W= Fs= |F||s|cos θ(θ為 F 與 s 的夾角 ). 一個(gè)手段 實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 兩條主線 (1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象,向量本身是一 個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,在利用向量解決問題時(shí),要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合. (2)要注意變換思維方式,能從不同角度看問題,要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題. 雙基自測(cè) 1. (人教 A 版教材習(xí)題改編 )某人先位移向量 a: “ 向東走 3 km” ,接著再位移向量 b: “ 向北走 3 km” ,則 a+ b 表示 ( ). A.向東南走 3 2 km B.向東北走 3 2 km C.向東南走 3 3 km D.向東北走 3 3 km 解析 要求 a+ b,可利用向量和的三角形法則來求解,如圖所示,適當(dāng)選取比例尺作 OA→= a= “ 向東走 3 km” , AB→ = b= “ 向北走 3 km” ,則 OB→ = OA→ + AB→ = a+ b. |OB→ |= 3
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