【文章內(nèi)容簡介】 示 設(shè) a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，其中 b≠ 0，當(dāng)且僅當(dāng) x1y2－ x2y1＝ 0 時(shí)，向量 a， b共線． 一個(gè)區(qū)別 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別： 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 OA→ ＝ a，點(diǎn) A 的位置被向量 a 唯一確定，此時(shí)點(diǎn) A 的坐標(biāo)與 a 的坐標(biāo)統(tǒng)一為 (x， y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn) A(x， y)，向量 a＝ OA→ ＝ (x， y)． 當(dāng)平面向量 OA→ 平行移動到 O1A1→ 時(shí)，向量不變，即 O1A1→ ＝ OA→ ＝ (x， y)，但 O1A1→ 的起點(diǎn) O1和終點(diǎn) A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化． 兩個(gè)防范 (1)要區(qū) 分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息． (2)若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，則 a∥ b 的充要條件不能表示成 x1x2＝ y1y2，因?yàn)?x2，y2有可能等于 0，所以應(yīng)表示為 x1y2－ x2y1＝ 0. 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )已知 a1＋ a2＋ ? ＋ an＝ 0，且 an＝ (3,4)，則 a1＋ a2＋ ?＋ an－ 1的坐標(biāo)為 ( )． A． (4,3) B． (－ 4，－ 3) C． (－ 3，－ 4) D． (－ 3,4) 解析 a1＋ a2＋ ? ＋ an－ 1＝－ an＝ (－ 3，－ 4)． 答案 C 2．若向量 a＝ (1,1)， b＝ (－ 1,1)， c＝ (4,2)，則 c＝ ( )． A． 3a＋ b B． 3a－ b C．－ a＋ 3b D． a＋ 3b 解析 設(shè) c＝ xa＋ yb，則 ??? x－ y＝ 4，x＋ y＝ 2， ∴ ??? x＝ 3，y＝－ 1. ∴ c＝ 3a－ b. 答案 B 3． (2020鄭州月考 )設(shè)向量 a＝ (m,1)， b＝ (1， m)，如果 a 與 b 共線且方向相反，則 m 的值為 ( )． A．－ 1 B． 1 C．－ 2 D． 2 解析 設(shè) a＝ λb(λ＜ 0)，即 m＝ λ 且 1＝ m＝ 177。1 ，由于 λ＜ 0， ∴ m＝－ 1. 答案 A 4．設(shè)向量 a＝ (1，－ 3)， b＝ (－ 2,4)，若表示向量 4a、 3b－ 2a、 c 的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量 c＝ ( )． A． (4,6) B． (－ 4，－ 6) C． (4，－ 6) D． (－ 4,6) 解析 設(shè) c＝ (x， y)， 則 4a＋ (3b－ 2a)＋ c＝ 0， ∴ ??? 4－ 6－ 2＋ x＝ 0，－ 12＋ 12＋ 6＋ y＝ 0， ∴ ??? x＝ 4，y＝－ 6. 答案 C 5．已知向量 a＝ (2，－ 1)， b＝ (－ 1， m)， c＝ (－ 1,2)，若 (a＋ b)∥ c，則 m＝ ________. 解析 a＋ b＝ (1， m－ 1)． ∵ (a＋ b)∥ c， ∴ 2－ (－ 1)(m－ 1)＝ 0， ∴ m＝－ 1. 答案 － 1 考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用 【例 1】 ?(2020南京質(zhì)檢 )如圖所示，在 △ ABC 中， H 為 BC 上異于 B， C 的任一點(diǎn)， M 為 AH 的中點(diǎn)，若 AM→ ＝ λAB→ ＋ μAC→ ，則 λ＋ μ＝ ________. [審題視點(diǎn) ] 由 B， H， C 三點(diǎn)共 線可用向量 AB→ ， AC→ 來表示 AH→ . 解析 由 B， H， C 三點(diǎn)共線，可令 AH→ ＝ xAB→ ＋ (1－ x)AC→ ，又 M 是 AH 的中點(diǎn)，所以 AM→ ＝ 12AH→ ＝ 12xAB→ ＋ 12(1－ x)AC→ ，又 AM→ ＝ λAB→ ＋ μAC→ .所以 λ＋ μ＝ 12x＋ 12(1－ x)＝ 12. 答案 12 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行 四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的． 【訓(xùn)練 1】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若 AD→ ＝ xAB→ ＋ yAC→ ，則 x＝ ________， y＝ ________. 解析 以 AB 所在直線為 x 軸，以 A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖， 令 AB＝ 2，則 AB→ ＝ (2,0)， AC→ ＝ (0,2)，過 D 作 DF⊥ AB 交 AB 的延長線于 F，由已知得 DF＝ BF＝ 3，則 AD→ ＝ (2＋ 3， 3)． ∵ AD→ ＝ xAB→ ＋ yAC→ ， ∴ (2＋ 3， 3)＝ (2x,2y)． 即有????? 2＋ 3＝ 2x，3＝ 2y，解得????? x＝ 1＋ 32 ，y＝ 32 . 另解： AD→ ＝ AF→ ＋ FD→ ＝ ??? ???1＋ 32 AB→ ＋ 32 AC→ ， 所以 x＝ 1＋ 32 ， y＝ 32 . 答案 1＋ 32 32 考向二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例 2】 ?(2020合肥模擬 )已知 A(－ 2,4)， B(3，－ 1)， C(－ 3，－ 4)，且 CM→ ＝ 3CA→ ，CN→ ＝ 2CB→ .求 M， N 的坐標(biāo)和 MN→ . [審題視點(diǎn) ] 求 CA→ ， CB→ 的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求 M， N. 解 ∵ A(－ 2,4)， B(3，－ 1)， C(－ 3，－ 4)， ∴ CA→ ＝ (1,8)， CB→ ＝ (6,3)． ∴ CM→ ＝ 3CA→ ＝ 3(1,8)＝ (3,24)， CN→ ＝ 2CB→ ＝ 2(6,3)＝ (12,6)． 設(shè) M(x， y)，則 CM→ ＝ (x＋ 3， y＋ 4)． ∴ ??? x＋ 3＝ 3，y＋ 4＝ 24， 得 ??? x＝ 0，y＝ 20. ∴ M(0,20)． 同理可得 N(9,2)， ∴ MN→ ＝ (9－ 0,2－ 20)＝ (9，－ 18)． 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程 (組 )進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo)． 【訓(xùn)練 2】 在平行四邊形 ABCD 中， AC 為一條對角線，若 AB→ ＝ (2,4)， AC→ ＝ (1,3)，則 BD→ ＝ ( )． A． (－ 2，－ 4) B． (－ 3，－ 5) C． (3,5) D． (2,4) 解析 由題意得 BD→ ＝ AD→ － AB→ ＝ BC→ － AB→ ＝ (AC→ － AB→ )－ AB→ ＝ AC→ － 2AB→ ＝ (1,3)－2(2,4)＝ (－ 3，－ 5)． 答案 B 考向三 平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算 【例 3】 ?已知 a＝ (1,2)， b＝ (－ 3,2)，是否存在實(shí)數(shù) k，使得 ka＋ b 與 a－ 3b 共線，且方向相反？ [審題視點(diǎn) ] 根據(jù)共線條件求 k，然后判斷方向． 解 若存在實(shí)數(shù) k，則 ka＋ b＝ k(1,2)＋ (－ 3,2)＝ (k－ 3， 2k＋ 2)， a－ 3b＝ (1,2)－3(－ 3,2)＝ (10，－ 4)． 若這兩個(gè)向量共線，則必有 (k－ 3) (－ 4)－ (2k＋ 2) 10＝ 0. 解得 k＝－ ka＋ b＝ ??? ???－ 103 ， 43 ， 所以 ka＋ b＝－ 13(a－ 3b)． 即兩個(gè)向量恰好方向相反， 故題設(shè)的實(shí)數(shù) k 存在． 向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用 兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值． 【訓(xùn)練 3】 (2020西安質(zhì)檢 )已知向量 a＝ (1,2)， b＝ (2，－ 3)，若向量 c 滿足 (c＋a)∥ b， c⊥ (a＋ b)，則 c＝ ( )． A.??? ???79， 73 B.??? ???－ 73，－ 79 C.??? ???73， 79 D.??? ???－ 79，－ 73 解析 設(shè) c＝ (m， n)， 則 a＋ c＝ (1＋ m,2＋ n)， a＋ b＝ (3，－ 1)． ∵ (c＋ a)∥ b， ∴ － 3 (1＋ m)＝ 2 (2＋ n)，又 c⊥ (a＋ b)， ∴ 3m－ n＝ 0，解得 m＝－ 79， n＝－ 73. 答案 D 閱卷報(bào)告 5—— 平面幾何知識應(yīng)用不熟練致誤 【 問題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問題，是高考命題向量試題的常見形式，求解這類問題的常規(guī)思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再進(jìn)行求解． 【防范措施】 一是會利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中的特殊點(diǎn)、線段等． 【 示例 】 ?(2020湖南 )在邊長為 1 的正三角形 ABC 中，設(shè) BC→ 誤．＝ 2BD→ ， CA→ ＝3CE→ ，則 AD→ BE→ ＝ ________. 錯(cuò)因 搞錯(cuò)向量的夾角或計(jì)算錯(cuò) 實(shí)錄 － 12(填錯(cuò)的結(jié)論多種 )． 正解 由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底 {AB→ ， AC→ }，結(jié)合圖形可得 AD→ ＝ 12(AB→＋ AC→ )， BE→ ＝ AE→ － AB→ ＝ 23AC→ － AB→ ， ∴ AD→ BE→ ＝ 12(AB→ ＋ AC→ )??? ???23AC→ － AB→ ＝ 13AC→ 2－ 12AB→ 2－ 16AB→ AC→ ＝ 13－12－16cos 60176。＝－14. 答案 － 14 【試一試】 (2020天津 )已知直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC， ∠ ADC＝ 90176。， AD＝2， BC＝ 1， P 是腰 DC 上的動點(diǎn)，則 |PA→ ＋ 3PB→ |的最小值為 ________． [嘗試解析 ] 以 D 為原點(diǎn)，分別以 DA、 DC 所在直線為 x、 y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè) DC＝ a， DP＝ x. ∴ D(0,0)， A(2,0)， C(0， a)， B(1， a)， P(0， x)， PA→ ＝ (2，－ x)， PB→ ＝ (1， a－ x)， ∴ PA→ ＋ 3PB→ ＝ (5,3a－ 4x)， |PA→ ＋ 3PB→ |2＝ 25＋ (3a－ 4x)2≥ 25， ∴ |PA→＋ 3PB→ |的最小值為 5. 答案 5 第 4 講 平面向量的應(yīng)用 【高考會這樣考】 1．考查利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 2．考查利用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)中重點(diǎn)把握好向量平行、垂直的條件及其數(shù)量積的運(yùn)算，重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法，體驗(yàn)向量在解題過程中的工具性特點(diǎn)． 基礎(chǔ)梳理 1．向量在平面幾何中的應(yīng)用 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性 運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． (1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理： a∥ b? a＝λb(b≠ 0)? x1y2－ x2y1＝ 0. (2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥ b? ab＝ 0? x1x2＋ y1y2＝ 0. (3)求夾角問題，利用夾角公式 cos θ＝ ab|a||b|＝ x1x2＋ y1y2x21＋ y21 x22＋ y22(θ 為 a 與 b 的夾角 )． 2． 平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力 F 與位移 s 的數(shù)量積．即 W＝ Fs＝ |F||s|cos θ(θ為 F 與 s 的夾角 )． 一個(gè)手段 實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 兩條主線 (1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀與形象，向量本身是一 個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合． (2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )某人先位移向量 a： “ 向東走 3 km” ，接著再位移向量 b： “ 向北走 3 km” ，則 a＋ b 表示 ( )． A．向東南走 3 2 km B．向東北走 3 2 km C．向東南走 3 3 km D．向東北走 3 3 km 解析 要求 a＋ b，可利用向量和的三角形法則來求解，如圖所示，適當(dāng)選取比例尺作 OA→＝ a＝ “ 向東走 3 km” ， AB→ ＝ b＝ “ 向北走 3 km” ，則 OB→ ＝ OA→ ＋ AB→ ＝ a＋ b. |OB→ |＝ 3