數(shù)量金融利率建模(編輯修改稿)
2024-10-06 08:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 以得到無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合 。 無套利要求此投資組合的回報(bào)率為 r， 故得到 終止條件為 V(S, r, T)=S?K。 此方程的解為 V(S, r, t)=S?KP(r, t。 T)。 2 2 22 2 2221122( ) 0 ,V V V VS S w wt S S r rVVr S u w r VSr? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ???25 隨機(jī)利率下的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格 在初始時(shí)刻 （ 0時(shí)刻 ） 的遠(yuǎn)期價(jià)格為使得遠(yuǎn)期合同價(jià)值為零的執(zhí)行價(jià)格 ， 故遠(yuǎn)期價(jià)格 K為 其中 P(r, t。 T)滿足 0 .( , 0 。 )SKP r T?2221( ) 0 ,2( , 。 ) 1 .P P Pw u w r Pt r rP r T T?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??? ??26 隨機(jī)利率下的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格 期貨 假定基于資產(chǎn) S的 T時(shí)刻到期的期貨價(jià)格為 F(S, r, t)。 構(gòu)造投資組合： 持有 1份期貨合同；賣空 Δ單位的基本資產(chǎn) S和 Δ1單位的 T時(shí)刻到期的零息債券； 我們有 11( , 。 ) ,( , 。 ) ,S P r t Td d F d S d P r t T? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?27 隨機(jī)利率下的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格 通過選取合適的 Δ和 Δ1 ， 可以得到無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合 。 無套利要求此投資組合的回報(bào)率為 r， 故得到 終止條件為 F(S, r, T)=S。 2 2 22 2 2221122( ) 0 ,F F F FS S w wt S S r rFFr S u wSr? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???28 隨機(jī)利率下的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格 此方程的解為 其中 q(r, t。 T)滿足 ( , , ) ,( , 。 )SF S r t q r t T?222221( ) 0 ,2( , 。 ) 1 .qq q q qrw u w r q w wt r r q rq r T T? ? ?? ???? ??? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ??29 第八講 信用風(fēng)險(xiǎn) Merton模型 . 違約風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格 . 隨機(jī)違約風(fēng)險(xiǎn)模型 . CDO. Merton模型 30 Merton模型 假設(shè)價(jià)值為 A的公司通過股權(quán) (價(jià)值為 S)和價(jià)值為 V，到期期限為 T的純貼現(xiàn)債券進(jìn)行融資。債券的本金為 D。在任一時(shí)點(diǎn) t，公司的價(jià)值為 假設(shè)公司的價(jià)值遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) .t t tA S V??.t t t tdA A dt A dZ???? Merton模型 31 如果公司的價(jià)值不足以償付債券的本金 —— AT D，則發(fā)生違約事件。債券持有人比股東具有優(yōu)先權(quán)，其損益為 min(D, AT)： AT D D–max(D – AT ,0) D Merton模型 32 而股東的損益則為 max(AT－ D, 0)： AT max(AT?D ,0) D Merton模型 33 根據(jù) BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)，容易得到 22221,2( , ) m i n( , ).t t tt t tttTTV V VA r A r Vt A AV T A D A?? ? ? ?? ? ??? ? ??? ??22221,2( , ) m a x ( , 0 ).t t tt t tttTTS S SA r A r St A AS T A A D?? ? ? ?? ? ??? ? ??? ??? Merton模型 34 此時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，違約發(fā)生的概率為 其中 Φ(.)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的累計(jì)分布函數(shù)。 ? ?21ln2Pr ( ) .tTAr T tDADTt?????? ?
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