數(shù)量金融利率建模(更新版)
【正文】 ?? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ???12 ,VVrr??????22221 1 2 222121122 ( ) .V V V Vd dt w dt dt w dtt r t rr dt r V V dt??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?7 債券定價公式 將 V1和 V2的項分別整合在一起 ， 上式說明 22221 1 2 21222121122 .V V V Vw rV w rVt r t rVVrr? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????22212 a ( , ) .VVw rVtr rtVr?????? ???8 債券定價公式 a(r, t)可以表示為 w(r, t)λ(r, t)?u(r, t), 得到債券價格 V(r, t。 T)=f 組成的偏微分方程的解 。 ) ,A t T r B t TP r t T e ??22()1 1 ( 。 ? ? ,td r r d t r d Z? ? ?? ? ?17 常用的單因子利率模型 18 常用的單因子利率模型 CIR模型下零息債券的價格 其中 ( 。 )( , 。 ) .V S r t S P r t T? ? ? ? ? ?24 隨機(jī)利率下的遠(yuǎn)期和期貨價格 通過選取合適的 Δ和 Δ1 ， 可以得到無風(fēng)險的投資組合 。 構(gòu)造投資組合： 持有 1份期貨合同；賣空 Δ單位的基本資產(chǎn) S和 Δ1單位的 T時刻到期的零息債券； 我們有 11( , 。債券的本金為 D。 47 例子 一個 $100面值的四年期美國政府無風(fēng)險零息債券的價格為 $。 1( , , ) ( , , ) ,td p r p t d t r p t d Z????2( , ) ( , ) ,td r u r t d t w r t d Z??54 隨機(jī)違約風(fēng)險模型 構(gòu)造投資組合： 持有 1單位有違約風(fēng)險債券 V(r, p, t)； 賣空 Δ單位無違約風(fēng)險債券 Q(r, t)； i） 有 pdt的概率發(fā)生違約 ， 此時投資組合價值的改變?yōu)? ( , , ) ( , ) .V r p t Q r t? ? ? ?1 / 2( ) . d V qV O dt? ? ? ? ?55 隨機(jī)違約風(fēng)險模型 ii） 有 (1?pdt)的概率不發(fā)生違約 ， 此時投資組合價值的改變?yōu)? 選擇 求期望 ， 得到 2 2 2222222211221 .2V V V Vd w w dtt r r p pV V Q Q Qdr dp w dt drr p t r r? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????,VQrr???? ??56 隨機(jī)違約風(fēng)險模型 有違約風(fēng)險的在 T時刻支付 1的零息債券的價格滿足 2 2 222221122 ( ) ( ) 0 , ( )( , , ) 1. V V V Vwwt r r p pVVu w r p pq VrpV r p T? ? ???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?????? ???57 隨機(jī)違約風(fēng)險模型 特例 1） γ=δ=0， q=0， 2） γ, δ不依賴 r， ρ=q=0， 其中 H(p, t)滿足 ()( , , ) ( , ) .p T tV r p t e Q r t???( , , ) ( , ) ( , ) ,V r p t H p t Q r t?22210,2( , ) 1 .H H HpHt p pH p T??? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ??58 CDO ABS 59 CDO CDO
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