【文章內(nèi)容簡介】 來開發(fā)數(shù)字濾波算法。由于 FPGA 產(chǎn)品的迅速發(fā)展，人們可以利 用 Atera、 Xilinx 等產(chǎn)品，使用其相關(guān)開發(fā)工具和 VHDL 等硬件開發(fā)語言，通過軟件編程用硬件實現(xiàn)特定的數(shù)字濾波算法。這一方法由于具有通用性的特點并可以實現(xiàn)算法的并行運算，無論是作為獨立的數(shù)字信號處理器，還是作為 DSP 芯片的協(xié)處理器，目前都是比較活躍的研究領(lǐng)域。 比較以上方法可見 ： 可以采用 MATLAB 等軟件來學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器的基本知識，計算數(shù)字濾波器的系數(shù)，研究算法的可行性，對數(shù)字濾波器進行前期的設(shè)計和仿真。而后，用 DSP 處理器或 FPGA 進行數(shù)字濾波的硬件實現(xiàn)。本課題設(shè)計的 FIR 數(shù)字濾波器就是用 MATLAB 進行設(shè)計和仿真，用 DSP 處理器來實現(xiàn)。 主要研究內(nèi)容 本課題主要應(yīng)用 MATLAB 軟件設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器，并對所設(shè)計的濾波器進行仿真 ： 應(yīng)用 DSP 集成開發(fā)環(huán)境 —— CCS 調(diào)試匯編程序，用 TMS320C5416來實現(xiàn)了 FIR 數(shù)字濾波。具體工作包括 ： 對 FIR 數(shù)字濾波器的基本理論進行了分析和探討 ； 采用 MATLAB 軟件來學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器的基本知識，對 FIR 低通數(shù)字濾波器進行前期的設(shè)計和仿真 ； 系統(tǒng)介紹了 TI 公司 TMS320C54x 系列數(shù)字信號處理器的硬件結(jié)構(gòu)、性能特點和 DSP 的集成開發(fā)環(huán)境 CCS； 應(yīng)用 DSP 集成開發(fā)環(huán)境 —— CCS 調(diào)試匯編程序，用 TMS320C5416 來實現(xiàn)了 FIR 數(shù)字濾波。 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 4 第 2章 FIR 濾波器基礎(chǔ) FIR 濾波器的特點 在數(shù)字信號處理應(yīng)用中往往需要設(shè)計線性相位的濾波器， FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到嚴(yán)格的線性相位特性。 FIR 濾波器不斷地對輸入樣本 x(n)延時后，再作乘法累加算法，將濾波結(jié)果 y(n)輸出，因此， FIR 實際上是一種乘法累加運算。 在數(shù)字濾波器中， FIR 濾波器的最主要的特點是沒有反饋回路，故不存在不穩(wěn)定的問題 ； 同時，可以在幅度特性是隨意設(shè)置的同時，保證精確的線性相位。穩(wěn)定和線性相位 特性是 FIR 濾波器的突出優(yōu)點。另外，它還有以下特點 ：設(shè)計方式是線性的 ； 硬件容易實現(xiàn) ； 濾波器過渡過程具有有限區(qū)間 ； 相對 IIR濾波器而言，階次較高，其延遲也要比同樣性能的 IIR 濾波器大得多 [l][2]。 FIR 濾波器的設(shè)計方法 FIR 濾波器的設(shè)計方法主要有窗函數(shù)設(shè)計法和頻率抽樣設(shè)計法等，其中窗函數(shù)設(shè)計法是最基本的設(shè)計方法。在設(shè)計 FIR 濾波器中，一個最重要的計算就是加窗，采用矩形窗是最直接和簡便的方法，但采用矩形窗存在較大的 Gibbis效應(yīng)，且矩形窗的第一旁瓣與主瓣相比僅衰減 13dB，因此實際設(shè)計中一般采用其他 窗函數(shù)。本小節(jié)主要介紹幾種常用的窗函數(shù)和頻率抽樣設(shè)計法等。 利用窗函數(shù)法設(shè)計 FIR 濾波器 1．窗函數(shù)法的基本思想 窗函數(shù)設(shè)計的基本思想是要選取某一種合適的理想頻率選擇性濾波器，然后將它的脈沖響應(yīng)截斷以得到一個線性相位和因果的 FIR 濾波器。因此這種方法的重點在于選擇某種合適的窗函數(shù)和一種理想濾波器。對于給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)，選擇濾波器長度和具有最窄主瓣寬度和盡可能小的旁瓣衰減的某個窗函數(shù)。 任何數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) ()jAe? 都是 ? 的周期函數(shù)，它的傅立葉級數(shù)展開式為 ： 10( ) ( )Nj jndnH e h n e??? ??? ? （ 2－ 1） 其中 201s in [ ( ) ]1 2( ) ( )12 ()2cj j nddLnh n H e e d Ln??????????? ??? （ 2－ 2） 其中的 c? 為濾波器的歸一化的截止頻率。傅立葉系數(shù) ()dhn實際上就是理想數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)。獲得有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的一種可能方法就是把 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 5 無窮級數(shù)截取為有限項級數(shù) 來近似，而吉布斯 (Gibbs)現(xiàn)象使得直接截取法不甚令人滿意 [1]。 窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)系列 (){}n? 來修正式（ 2－ 2）的傅立葉級數(shù)，以求得要求的有限沖激響應(yīng)序列 ()hn ，即有： ( ) ( ) ( )dh n h n n?? （ 2－ 3） ()n? 是有限長序列，當(dāng) 1nN??及 0n? 時， ( ) 0n? ? 。 2．幾種常用的窗函數(shù) 工程中比較常用的窗函數(shù)有 [l][3]：矩形窗函數(shù)、三角形 (Bartlett)窗函數(shù)、漢寧 (Hanning)窗函數(shù)、海明 (Hamming)窗函數(shù)、布萊克曼 (Blackman)窗函數(shù)和凱塞(Kaiser)窗函數(shù)。這幾種窗函數(shù)的比較見表 21 所示。 表 21 幾種常用窗函數(shù)對比 窗函數(shù) 旁瓣峰值衰減 (db) 過渡帶 (△ω ) 阻帶最小衰減 (db) 矩形窗 13 4π /N 21 三角形 27 8π /N 25 漢寧窗 31 8π /N 44 海明窗 41 8π /N 53 布萊克曼窗 57 12π /N 74 凱塞窗 57 10π /N 80 窗函數(shù)的選擇原則是： 1．具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度； 2． 旁瓣幅度下降速度要大，以利增加阻帶衰減； 3．主瓣的寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶。 通常上述三點很難同時滿足。當(dāng)選用主瓣寬度較窄時，雖然得到較陡的過渡帶，但通帶和阻帶的波動明顯增加 ： 當(dāng)選用最小的旁瓣幅度時，雖能得到勻滑的幅度響 應(yīng)和較小的阻帶波動，但過渡帶加寬。因此，實際選用的窗函數(shù)往往是它們的折衷。在保證主瓣寬度達到一定要求的條件下，適當(dāng)犧牲主瓣寬度來換取旁瓣波動的減少。 1．漢寧 (Hanning)窗 漢寧窗又稱升余弦窗。 2 12( ) sin ( ) ( ) [ 1 c os ( ) ] ( )1 2 1NNnnw n R n R nNN??? ? ??? （ 2－ 4） 利用傅里葉變換特性，可得 1()21()222( ) { 0 . 5 ( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ] }11()NjjR R RNjW e W W W eNNWe?????? ? ??????? ? ? ? ???? （ 2－ 5） xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 6 當(dāng) 1N 時， 1NN?? ，所以窗函數(shù)的幅 頻函數(shù)為 22( ) 0 .5 ( ) 0 .2 5 [ ( ) ( ) ]R R RW W W WNN??? ? ? ?? ? ? ? ? （ 2－ 6） 這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值約低 31dB。但是代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為 8/N? 。 2．海明 (Hamming)窗 海明窗又稱改進的升余弦窗。把升余弦窗加以改進，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為 2( ) [ 0 .5 4 0 .4 6 c o s( ) ] ( )1 Nnw n R nN ??? ? （ 2－ 7） ()wn的頻率響應(yīng)的幅度特性為 22( ) 4 ( ) 3 [ ( ) ( ) ]11 4 ( ) 3 [ ( ) ( ) ]R R RR R RW W W WNNW W WNN??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? （ 2－ 8） 與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為 8/N? ，但旁瓣又被進一步壓低，結(jié)果可將 %的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，它的最大旁瓣值比主瓣值約低41dB。 3．布萊克曼 (Blackman)窗 布萊克曼窗又稱二階升余弦窗。 為了進一步抑制旁瓣，對升余弦窗函數(shù)再加上一個二次諧波的余弦分量，變成布拉克曼窗， 故又稱二階升余弦窗。 24( ) [ 0. 42 0. 5 c os ( ) 0. 08 c os ( ) ] ( )11 Nnnw n R nNN??? ? ??? （ 2－ 9） ()wn的頻率響應(yīng)的幅度特性為 22( ) ( ) [ ( ) ( ) ]11 [ ( ) ( ) ]11R R RRRw n W W WNNWWNN??? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ??? （ 2－ 10） 4．凱塞（ Kaiser）窗 這是一種適應(yīng)性較強的窗，是一種最優(yōu)和最有用的窗。它是在給定阻帶衰減下給出一種大的主瓣寬度意義上的最優(yōu)結(jié)果，這本身就內(nèi)含著最陡峭的過渡帶。其公式為 ： 200( 1 [1 2 / ( 1 ) ] )() ()I n Nwn I? ?? ? ?? 01nN? ? ? （ 2－ 11） 式中， 0()Ix是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)， ? 是一個可自由選擇的參數(shù)。凱塞窗的優(yōu)點： xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 7 1．凱塞窗可提供變化的過渡帶寬，通過改變 ? 的值可達到最陡的過渡帶 ； 2．凱塞窗具有與海明窗相匹敵的特性，通過調(diào)整 ? 的值，可將凱塞窗完全等 價于海明窗； 3．凱塞窗最大旁瓣值比主瓣約低 80dB，在所有的窗函數(shù)中旁瓣抑制度最高。 綜合以上窗函數(shù)特點，選用最優(yōu)和適應(yīng)性較強的凱塞窗來設(shè)計 FIR 濾波器。 用頻率抽樣法設(shè)計 FIR 濾波器 所謂頻率抽樣法就是從頻域出發(fā)，根據(jù)頻域的采樣定理，對給定的理想濾波器的頻域響應(yīng)進行等間隔采樣 [4][5] ( 2 )( ) ( )jddk NH e H k? ??? ? 0,1... 1kN?? （ 2－ 12） 把 ()dHk當(dāng)作待設(shè)計 的濾波器頻率響應(yīng)的采樣值 ()Hk，通過下式可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz和頻率響應(yīng) ()jHe? ： 110 ()1( ) ( ) (1 ) 1NNkk NHkH Z ZN WZ??????? ?? （ 2－ 13） 102( ) ( ) ( )NjkH e H k kN? ???????? （ 2－ 14） 其中， ()?? 是一個內(nèi)插函數(shù) ： ( 1 ) 2sin( )1 2()sin( )2jNNeN ???? ? ??? 2j NNWe?? （ 2－ 15） 由于頻譜的有限個采樣值恢復(fù)出來的頻率響應(yīng)實際上是對理想頻率響應(yīng)的逼近，因此，這種方法必然有一定的逼近誤差。若被逼近的頻率響應(yīng)比較平滑，則各采樣點之間的逼近誤差較小 ； 反之，則逼近誤差較大。 為了提高逼近的質(zhì)量，可以采用人為的擴展過渡帶的方法，即在頻率相應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個或多個比較連續(xù)的采樣點，使過渡帶比較連續(xù)，從而通帶和阻帶之間變化比較緩慢， 使得設(shè)計得到的濾波器對理想濾波器的逼近誤差較小。 利用切比雪夫逼近法設(shè)計 FIR 濾波器 上述兩種方法設(shè)計的 FIR 濾波器的頻率響應(yīng)都不很理想，即通帶不夠平，阻帶衰減不夠大，過渡帶過寬，頻率邊緣不能精確指定。 Chebyshev 方法是最佳一致逼近法。該方法在數(shù)字信號處理中占有重要的定位，是設(shè)計 FIR 濾波器最理想的方法。但是，該方法的原理較為復(fù)雜 [6][7]。 數(shù)字濾波器頻域設(shè)計的最優(yōu)方法 —— 等波紋切比雪夫法，是采用最大誤差最小準(zhǔn)則得到最優(yōu)數(shù)字濾波器，而且其最優(yōu)解唯一。最優(yōu)設(shè)計實際上是調(diào)節(jié) xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 8 FIR 濾波器 Z 域零點的分布， 使得實際濾波器的頻域響應(yīng) ()jeAe? 和理想濾波器的頻域響應(yīng) ()jeHe? 之間的最大絕對誤差最小 。 對于 I 型 FIR 數(shù)字濾波器，其頻響可表示為 ： 1( ) ( 0) 2 ( ) c os( )Lje e enA e h h n n? ???? ? （ 2－ 16） 其中， ()ehn為濾波器系數(shù)， 2ML? ， M 為濾波器階數(shù)。我們將研究對于設(shè)計具有廣義線形相位的 FIR 濾波器特別有效且廣泛使用的算法 ParksMcClellan[11]算法。該算法的基礎(chǔ)是將濾波器的設(shè)計問題用公式表示成多項式逼近問題。該算法將濾波器階數(shù) L、帶沿頻率 P? 和 S? ，以及通帶阻帶最大誤差比1 2?? 固定，令 1? 或 2? 為變量，有效而系統(tǒng)的改變 (L+l)個非限制 的脈沖響應(yīng)值( )(0 )eh n n L??，從而達到滿足設(shè)計指標(biāo)的目的。 （ 2－ 16） 式中的 cos( )n? 項可表示為不同冪次之和，形式為 cos( ) (cos )nnT??? ，這里 ()nTx是 n 次切比雪夫多式， 1( ) c os( c os )nT x n x?? 。