【正文】 得實(shí)際濾波器的頻域響應(yīng) ()jeAe? 和理想濾波器的頻域響應(yīng) ()jeHe? 之間的最大絕對誤差最小 。我們將研究對于設(shè)計(jì)具有廣義線形相位的 FIR 濾波器特別有效且廣泛使用的算法 ParksMcClellan[11]算法。該算法將濾波器階數(shù) L、帶沿頻率 P? 和 S? ，以及通帶阻帶最大誤差比1 2?? 固定，令 1? 或 2? 為變量，有效而系統(tǒng)的改變 (L+l)個非限制 的脈沖響應(yīng)值( )(0 )eh n n L??，從而達(dá)到滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的目的。 故， ()jeAe? 可改寫 0( ) (c os )LjkekkA e a? ??? ? （ 2－ 17） 其中， ka 是與 ()ehn相關(guān)的常數(shù)。最大誤差最小準(zhǔn)則即是在所要求頻域上找出使 （ 2－ 18） 式的最大加權(quán)逼近誤差達(dá)最小的頻響 ()jeAe? 。這里 F 是 0 ????的閉子集。其表達(dá)式為 [8] 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( 1 )1 , 2...( 2)jjjj ij j d eE W H e A eiL??? ? ??? ? ? ? ??? （ 2－ 19） (max ( ) )iFEE? ??? （ 2－ 20） ? 為最優(yōu)誤差。由 (2－ 17)、 (2－ 19)式可以解出系數(shù)組 ka 和? 。而為避免求解復(fù)雜方程組 (2－ 17)、 (2－ 19)來得出系數(shù)， ParksMcClellan 采用 Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插公式，有 2121[]()()[]()Lk kkj ke Lkkkd cxxAedxx?????????? （ 2－ 22） 其中， 1( 1 )()()kkjkd kc A e W? ??????， 121, 1 ()Lk k k Li i k kid b x xxx????? ? ???， 這里令cosx ?? ， cosiix ?? 。若對通帶和阻帶中的所有 ? ，都有 ()E??? ，則 說明已達(dá)到最佳逼近。 FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)方法 本小節(jié)主要介紹 FIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu)和常用的濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)方法。 1．直接型 直接型也稱卷積型或橫截型，稱為卷積型，是因差分方程是信號的卷積形式；稱為橫截型，是因?yàn)闉V波器是一條輸入 ()xn 延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)。其結(jié)構(gòu)圖如圖 2－ 1 所示。 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 10 x ( n )h ( 0 )Z 1Z 1h ( N 1 )Z 1h ( 1 ) h ( 2 )h ( N 2 )y ( n ) 圖 21（ a） FIR 濾波器的直接型結(jié)構(gòu) x ( n )h ( N 3 )Z 1Z 1h ( N 1 )Z 1h ( 1 )h ( 2 )h ( N 2 )y ( n )Z 1h ( 0 ) 圖 21（ b） FIR 濾波器的直接型結(jié)構(gòu) 直接型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是： 優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀，乘法運(yùn)算量較少； 缺點(diǎn)：調(diào)整零點(diǎn)較難。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖 22所示。 3．線性相位型 FIR 濾波器的重要特點(diǎn)是可設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器，此時 ()Hz滿足偶對稱或奇對稱條件。 4．頻率采樣型 頻率采樣型結(jié)構(gòu)是一種用系數(shù)將濾波器參數(shù)化的一種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。 系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上作 N 等分取樣就是單位取樣響應(yīng) ()hn 的離散傅里葉變換 ()Hk。其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (信 號流圖 )如圖 24 所示 x ( n )Z Ny ( n )H ( 1 )H ( N 1 )H ( 0 )WN0WN 1WN N 1Z 1Z 1Z 1…... 圖 24 FIR 濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu) 頻率采樣型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)有： 優(yōu)點(diǎn) ： 1．選頻性好，適于窄帶濾波，這時大部分 ()Hk為零，只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò) ； 2． 不同的 FIR 濾波器，若長度相同，可通過改變系數(shù)用同一個網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn) ； 3． 復(fù)用性好。 FIR 濾波器常表示為直接型和轉(zhuǎn)置型兩 種結(jié)構(gòu)，兩種結(jié)構(gòu)的功能是等效的。直接型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)有兩個，一是移位寄存器存儲的是位寬較小的輸入數(shù)據(jù) ； 二是當(dāng) FIR 濾波器為線性相位時，可以利用其系數(shù)對稱的特點(diǎn)，將乘法器個數(shù)減半，加法器個數(shù)不變。直接型的缺點(diǎn)是需要一個多輸入加法器，當(dāng) FIR 階數(shù)較多時，多輸入加法器的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜、遲延較大，直接型結(jié)構(gòu)也不便于多個 FIR 濾波器級連 擴(kuò)展。缺點(diǎn)是要存儲各級乘加器的輸出，這些輸出的位寬較大，也無法利用線性相位 FIR 濾波器系數(shù)對稱的特點(diǎn)。 FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)方法 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法一般有以下幾種 [9]： 1． 用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn) 軟件實(shí)現(xiàn)方法即是在通用的微型計(jì)算機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)。國內(nèi)外的研究機(jī)構(gòu)、公司已經(jīng)推出了不同語言的信號濾波處理軟件包。 2． 采用 DSP(Digital Signal Processing)處理器來實(shí)現(xiàn) DSP 處理器是專為數(shù)字信號處理而設(shè)計(jì)的，如 TI 公司的 TMS320CX 系列， AD 公司的 ADSP2IX， ADSP210X 系列等。這些特點(diǎn)都非常適合數(shù)字信號處理中的濾波器設(shè)計(jì)的有效實(shí)現(xiàn)，并且它速度快，成本低，在過去的 20 多年的時間里，軟件可編程的 DSP 器件幾乎統(tǒng)治了商用數(shù)字信號處理硬件的市場。用可編程 DSP 芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波可通過修改濾波器的參數(shù)十分方便的改變?yōu)V波器的特性。它們體積小、保密性好，具有極高的性能，然而靈活性差。這一方法由于具有通用性的特點(diǎn)并可以實(shí)現(xiàn)算法的并行運(yùn)算，無論是作為獨(dú) 立的數(shù)字信號處理，還是作為 DSP 芯片的協(xié)作處理器都是比較活躍的研究領(lǐng)域。可以采用 DSP 或 FPGA 來實(shí)現(xiàn)硬件電路。 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 14 本章小結(jié) 本章主要介紹了 FIR 濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，分別介紹了 FIR 濾波器的定義與分類、 FIR 濾波器的幾種設(shè)計(jì)方法和實(shí)現(xiàn)方法，為后面 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)。它起源于矩陣運(yùn)算，并己經(jīng)發(fā)展成一種高度集成的計(jì)算機(jī)語言。 MATLAB 語言在教學(xué)及科學(xué)研究起著重大的作用。 2020 年 9 月正式推出 Release 14()的ServicePack 1。在 MATLAB 中提供了一些濾波器的函數(shù)，使 FIR 濾波器的運(yùn)算更加方便和快速。1()firs 和 ()remez 的基本格式用于設(shè)計(jì) I 型和 Ⅱ 型線性相立 FIR 濾波器，是偶對稱濾波器， I 型和 Ⅱ 型的區(qū)別在于濾波器的階數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)。 ()filter 用于實(shí)現(xiàn) IIR 和FIR 濾波器對數(shù)據(jù)的濾波，常用來計(jì)算濾波器對輸入配響應(yīng)。 ()freqz用于求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。 新版本的 MATLAB 軟件 ()己經(jīng)集成了 TI 公司的 C2020，C5000， C6000 系列 DSP 的開發(fā)工具包，可在 MATLAB/SIMULINK 環(huán)境中用圖形化的方式進(jìn)行 DSP 的設(shè)計(jì)和仿真驗(yàn)證，并能將設(shè)計(jì)的圖形文件 .mdl 直接轉(zhuǎn)換成 C 語言程序，其中 C2020 系列的開發(fā)工具是 Embedded Target for TI C2020 DSP 。在 C24X 系列 DSP 工具箱中包含了 DSP 處理器中的模 /數(shù)轉(zhuǎn)換 ADC， CAN 發(fā)送及接收、 PWM 控制等模塊。 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 16 MATLAB 提供了相應(yīng)的子程序來實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)，例如： wd=boxcar(N) % 數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)矩形窗函數(shù) wd=triang(N) % 數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)三角窗函數(shù) wd=hanning(N) % 數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)漢寧窗函數(shù) wd=hamming(N) % 數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)哈明窗函數(shù) wd=Blackman(N) % 數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)布萊克曼窗函數(shù) wd=kaiser(N， beta) % 數(shù)組 wd 中返回給定 beta 值時 N 點(diǎn)凱澤窗函數(shù) 這些函數(shù)的輸入一般只要窗函數(shù)的長度 N 就夠了，只有凱澤窗還需要規(guī)定beta 值。MATLAB 是用顏色區(qū)分并標(biāo)注各條曲線的，在黑白印刷時無法表示。 基于 MATLAB 的 FIR 濾波器的設(shè)計(jì) 前文中已簡要介紹了 MATLAB 軟件，及其 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，在本小節(jié)中將使用 MATLAB 來進(jìn)行 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。本文利用 MATLAB 中的 fdatool 工具設(shè)計(jì)一個 fir 數(shù)字低通濾波器。 濾波器指標(biāo) 根據(jù)采樣定律，采樣頻率 sf 應(yīng)大于或等于所有信號頻率成分中，最大頻率的兩倍。所設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的邊界頻率應(yīng)滿足 ：12p a ss sto pf f f f? ? ?， 取通帶截止頻率 ? ，阻帶截止頻率 ? 。 1．啟動 fdatool 打開的 fdatool 界面，如 31 圖所示： 2．濾波器設(shè)計(jì) 濾波器類型 (Filter type) 包括 ： 低通 (Lowpass)、高通 (Highpass)、帶通 (Bandpass)和帶阻 (Bandstop)。 設(shè)計(jì)方法 (Design Method) xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 17 FIR 濾波器包括 ： 等紋波法 (Equiripple)、最小乘方法 (LeastSquares)和窗函數(shù)法 (Window)等。 濾波器階數(shù) (Filter Order) 包括 ： 指定階峰 (Specify Order)和最小階數(shù) (Minimum Order)。例如設(shè)計(jì)一個 66 階濾波器，這里應(yīng)該填入 65。選為最小階數(shù) (Minimum Order)[11][19]。 設(shè)計(jì)界面如圖 32 所示： 圖 31 fdatool界面 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 18 圖 32 Design filter 界面 設(shè)計(jì)結(jié)果 由 Targets 菜單下的 Generate c header 導(dǎo)出的內(nèi)容，可得到 ()hn 的系數(shù)，并將系數(shù)保存在 文件下，以下是導(dǎo)出的內(nèi)容： /* * DiscreteTime FIR Filter (real) * * Filter Structure : DirectForm FIR * Filter Length : 33 * Stable : Yes * Linear Phase : Yes (Type 1) */ /* General type conversion for MATLAB generated Ccode */ include /* * Expected path to * D:\matlab\extern\include\ */ xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 19 const int BL = 33。 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 20 圖 33（ a） 量化前的 FIR濾波器的幅頻特性曲線 圖 33（ b） 量化前的 FIR 濾波器的相頻特性曲線 FIR 濾波器的 MATLAB 仿真 為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的濾波器是否滿足要求，用 MATLAB 進(jìn)行仿真。 f2=。 T=1。 %采樣間隔 T=1； 采樣頻率 fs=1/T=1 fs=1/T。 %采樣頻率的一半。 %產(chǎn)生輸入信號 Xk=fft(x)。 Yk=fft(y)。 plot(n,abs(Xk))。 plot(n,abs(Yk))。 0 50 100 150 200 250 300 350 4000501001502000 50 100 150 200 250 300 350 400050100150200 圖 34 FIR 濾波器的仿真結(jié)果 圖 34 的上圖為輸入信號的頻譜圖，包括 fl、 f f3 三個頻率成分，下圖是輸出信號的頻譜圖，只剩下了 f1 的頻率成分。 xx 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 22 本章小結(jié) 本章介紹了 MATLAB 軟件，及其 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法， 并 使用MATLAB 進(jìn)行 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 和仿真 。在當(dāng)今的數(shù)字化時代， DSP 己成為通信設(shè)備、計(jì)算機(jī)和其它電子產(chǎn)品的基礎(chǔ)